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Bilder Rotieren

Dieser Abschnitt zeigt wie sich Bilder um einen beliebigen Winkel φ (sprich PHI) rotieren lassen. Rotation (lat. rotatio: Drehung)

Dieser Abschnitt ist noch nicht komplett fertiggestellt.

Grad- und Bogenmaß

Wenn Bilder um einen Winkel $\varphi$ gedreht (rotiert) werden sollen, muss beachtet werden, dass das rotierte Bild eventuell größer als das originale Bild werden kann.

Das originale Bild ist hier Quadratisch mit 222×222 Pixeln.Das Bild wurde um 45° Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt 314×314 Pixel groß sein.

Für die Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß gilt die Beziehung: \begin{equation} \frac{360° }{\text{Winkel im Gradmaß}} == \frac{2 \pi}{\text{Winkel im Bogenmaß}} \end{equation}

Die Transformationsgleichung für die Rotation

Bei der Rotation wird jeder Bildpunkt P(x|y) des Originalbildes in einen neuen Bildpunkt P´(x|y) überführt.

Gesucht ist eine Transformation, die ausgehend von dem alten Bildpunkt, sowie dem gewünschen Drehwinkel, einen neuen Bildpunkt berechnet.

\begin{equation} \left(\begin{array}{}p\prime_x\\p\prime_y\end{array}\right) = R(\varphi)\cdot \left(\begin{array}{}p_x\\p_y\end{array}\right) \end{equation}

Transformationsgleichungen

Wir werden an dieser Stelle die Transformation gleich angeben und anschließend an einem Beispiel zeigen, wie man mit ihr arbeitet. Eine Herleitung dieser Gleichungen ist weiter unten angegeben. Die gesuchten Transformationsgleichungen sind:

\begin{equation} \color{blue}{p\prime_x} = cos(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} - sin(\varphi) \cdot \color{red}{p_y} \\ \color{blue}{p\prime_y} = sin(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} + cos(\varphi) \cdot \color{red}{p_y} \end{equation}

Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um 40°, wenn der alte Bildpunkt P(10,30) ist?

Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:

  • sin(40°)=0,643
  • cos(40°)=0.766

Eingesetzt in die Transformationsformeln ergibt sich:

  • px´ = 0.766·10 - 0,643·30 = -11,63
  • py´ = 0,643·10 + 0,766·30 = 29,41

Die neuen Koordinaten sind damit P´( -11,63 | 29,41 ).

Java Methode zum Rotieren

Die folgende Java Methode benutzt die Java Klasse Point, um die Transformation zu berechnen.

public Point rotation(Point point, double angle){
 
      Point result = new Point();
 
      double c = Math.cos(angle);
      double s = Math.sin(angle);
 
      result.x = c*point.x - s*point.y;
      result.y = s*point.x + c*point.y;
 
      return result;
}
FIXMEFIXME
Orginal.Das um FIXME Grad gedrehte Bild.

Grundprinzip zum Rotieren von Bildern

fromScreen ↔ toScreen

Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll.

  1. Vom zu rotierenden Bild $\text{Bild}_{\text{ALT}}$ wird die Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
  2. Ein leeres Bild $\text{Bild}_{\text{NEU}}$ wird erzeugt.
    • Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden!
  3. für jeden Bildpunkt des zu rotierenden Bildes $\text{Bild}_{\text{ALT}}$ gilt nun:
    • fromScreen Die Bildkoordinaten werden in kartesische Koordinaten umgerechnet.
    • Die kartesischen Koordinaten werden mithilfe der Transformationsformel um einen gegebenen Winkel rotiert.
    • toScreen Die rotierten kartesischen Koordinaten werden wieder in Bildkoordinaten umgerechnet.
    • Die so berechneten Bildkoordinaten werden im $\text{Bild}_{\text{NEU}}$ gespeichert.
Hierbei ist zu beachten, dass Bildkoordinaten integer Werte sind und die Transformation in der Regel double Werte ergibt. Grundsätzlich sollte man immer mit double rechnen. Nur beim Lesen der Bildkoordinaten und beim Schreiben in Bildkoordinaten müssen integer Werte verwendet werden.

fromScreen

BildkoordinatenfromScreenkartesische Koordinaten

Mit fromScreen bezeichnen wir eine Java-Methode, die Bildkoordinaten in (mathematisch) kartesische Koordinaten transformiert.

toScreen

kartesische Koordinaten toScreen Bildkoordinaten

Mit toScreen bezeichnen wir eine Java-Methode, die (mathematisch) kartesische Koordinaten in Bildkoordinaten transformiert.

Herleitung der Transformationsgleichung:

Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her.

Voraussetzungen

Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.

Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es aber ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.

Herleitung

Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt (transformiert). Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen.
Schauen Sie sich beides solange an, bis ihnen das gelingt!

Ausgehend von den Addtionstheoremen für Cosinus und Sinus, werden zuerst cos(α) bzw. sin(α) durch ihre rechten Seiten ersetzt.

Jetzt ersetzen wir sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten.



Der Radius r kürzt sich heraus.

Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden. :-)