Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- bilder_rotieren [2024/01/20 10:01] – [Beispiel] torsten.roehl
+++ bilder_rotieren [2024/02/07 08:23] (aktuell) – torsten.roehl
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-|FIXME|FIXME|
+| {{ :inf:java:smiley00.png?150 |}} |{{ :inf:java:smiley45.png? |}}|
-|Das originale Bild ist hier Quadratisch FIXME.|Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt FIXME  groß sein. |
+|Das originale Bild ist hier Quadratisch mit ''222x222'' Pixeln.|Das Bild wurde um 45° Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt ''314x314'' Pixel  groß sein. |
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 \begin{equation}  \color{blue}{p\prime_x} = cos(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} - sin(\varphi) \cdot \color{red}{p_y}  \\  \color{blue}{p\prime_y} = sin(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} + cos(\varphi) \cdot \color{red}{p_y} \end{equation}
-==== Beispiel ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
 <WRAP center round box 100%>
-**Aufgabe:**\\
+{{:inf:aufgabe.gif?|}}
-Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um 40°, wenn der alte Bildpunkt P(10,30) ist?
-**Lösung:**\\
+Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um **40°**, wenn der alte Bildpunkt **P(10,30)** ist?\\
+{{:inf:solution.gif?|}}
+Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:
+  * sin(40°)=0,643
+  * cos(40°)=0.766
+Eingesetzt in die Transformationsformeln ergibt sich:
+  * px´ = 0.766·10 - 0,643·30 = -11,63
+  * py´ = 0,643·10 + 0,766·30 = 29,41
+Die neuen Koordinaten sind damit** P´( -11,63 | 29,41 )**.
 </WRAP>
+==== Java Methode zum Rotieren ====
+Die folgende Java Methode benutzt die Java Klasse Point, um die Transformation zu berechnen.
+<Code Java linenums:1>
+public Point rotation(Point point, double angle){
+      Point result = new Point();
+      double c = Math.cos(angle);
+      double s = Math.sin(angle);
+      result.x = c*point.x - s*point.y;
+      result.y = s*point.x + c*point.y;
+      return result;
+}
+</Code>
+| FIXME|FIXME |
+|Orginal.|Das um FIXME Grad gedrehte Bild. |
 ===== Grundprinzip zum Rotieren von Bildern =====
-==== Koordinaten toScreen and fromScreen ====
+==== fromScreen  ↔ toScreen ====
+Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll.
+  - Vom zu rotierenden Bild<color #ff7f27> $\text{Bild}_{\text{ALT}}$</color> wird die  Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
+  - Ein leeres Bild <color #7092be>$\text{Bild}_{\text{NEU}}$</color> wird erzeugt.
+      * Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden!
+  - für jeden Bildpunkt des zu rotierenden Bildes  <color #ff7f27>$\text{Bild}_{\text{ALT}}$</color> gilt nun:
+      * **fromScreen** Die Bildkoordinaten werden in kartesische Koordinaten umgerechnet.
+      * Die kartesischen Koordinaten werden mithilfe der Transformationsformel um einen gegebenen Winkel rotiert.
+      * **toScreen** Die rotierten kartesischen Koordinaten werden wieder in Bildkoordinaten umgerechnet.
+      * Die so berechneten Bildkoordinaten werden im  <color #7092be>$\text{Bild}_{\text{NEU}}$</color> gespeichert.
+<note>Hierbei ist zu beachten, dass Bildkoordinaten **integer** Werte sind und die Transformation in der Regel **double** Werte ergibt. Grundsätzlich sollte man immer mit **double** rechnen. Nur beim Lesen der Bildkoordinaten und beim Schreiben in Bildkoordinaten müssen integer Werte verwendet werden.
+</note>
+=== fromScreen ===
+|<color #ff7f27>Bildkoordinaten</color>|//fromScreen// →   |<color #7092be>kartesische Koordinaten</color>|
+Mit **fromScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, die Bildkoordinaten in (mathematisch) kartesische Koordinaten  transformiert.
+  * Kartesische Koordinaten, sind in der Regel** vorzeichenbehaftete double Werte**.
+          * häufig ist der Koordinatenursprung in der Mitte des Bildes überaus zweckmäßig.
+=== toScreen ===
+|<color #7092be>kartesische Koordinaten</color>| //toScreen// ** →**   |<color #ff7f27>Bildkoordinaten</color>|
+Mit **toScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, die (mathematisch) kartesische Koordinaten in Bildkoordinaten transformiert.
+  * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|0) oben links und  besitzen nur positive integer Werte
 ===== Herleitung der Transformationsgleichung: =====
-==== Herleitung ====
+Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her.
+==== Voraussetzungen ====
+Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.
+  * cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α)
+  * sin(φ + α )  = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α)
+Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es  aber ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.
+==== Herleitung ====
+|{{:inf:java:rot2d.png?320|}} | {{:inf:java:cossin.png?170|}}|
+|Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt (transformiert). |Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen. \\ **Schauen Sie sich beides solange an, bis ihnen das gelingt!** |
+|<WRAP>Ausgehend von den Addtionstheoremen für Cosinus und Sinus, werden zuerst cos(α) bzw. sin(α) durch ihre rechten Seiten ersetzt.\\ \\  Jetzt ersetzen wir
+sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten. \\ \\ \\ \\ Der Radius r kürzt sich heraus.</WRAP> | {{:inf:java:herleitung.png?330|}}|
+| Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden. :-) ||