Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- gaensebluemchen [2024/01/14 12:01] – [Planetentemperatur und die Rolle der Albedo] torsten.roehl
+++ gaensebluemchen [2024/01/14 15:48] (aktuell) – torsten.roehl
@@ Zeile 157: / Zeile 157: @@
 Mit dieser Konvention  lautet die Formel dann:
-\begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-29.5)^2\end{equation}
+\begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-295.5)^2\end{equation}
 mit  $\frac{1}{17.5^2}$  ≈ 0.003265
@@ Zeile 175: / Zeile 175: @@
-T ist die Temperatur des Planeten. $S_0$ und $\sigma$sind Konstanten.  L ist eine Zahl,  (0.6 ≤ L ≤  1.65) die es uns ermöglicht, die Änderung der Sonneneinstrahlung zu modellieren.  Auch unsere Sonne wird  ihre Sonneneinstrahlung in den nächsten Millionen Jahren weiter erhöhen. Für L = 1 beschreiben wir die Sonneneinstrahlung zum jetzigen Zeitpunkt, dementsprechend beschreiben wir mit L > 1 die zukünftige Sonneneinstrahlung.  A ist die Albedo des Planeten, auf die weiter unten genauer eingegangen wird.
+T ist die Temperatur des Planeten. $S_0$ und $\sigma$ sind Konstanten.  L ist eine Zahl,  (0.6 ≤ L ≤  1.65) die es uns ermöglicht, die Änderung der Sonneneinstrahlung zu modellieren.  Auch unsere Sonne wird  ihre Sonneneinstrahlung in den nächsten Millionen Jahren weiter erhöhen. Für L = 1 beschreiben wir die Sonneneinstrahlung zum jetzigen Zeitpunkt, dementsprechend beschreiben wir mit L > 1 die zukünftige Sonneneinstrahlung.  A ist die Albedo des Planeten, auf die weiter unten genauer eingegangen wird.
 \\
 \\
-Die Temperatur des Planeten bleibt dann konstant, wenn die pro Zeit eingestrahlte Energie (PEIN ) genauso groß ist wie die pro Zeit abgestrahlte Energie (PAUS) (Abbildung 3).
+Die Temperatur des Planeten bleibt dann konstant, wenn die pro Zeit eingestrahlte Energie ($P_{EIN}$) genauso groß ist wie die pro Zeit abgestrahlte Energie ($P_{AUS}$) (Abbildung 3).
 \\
@@ Zeile 188: / Zeile 188: @@
 Hierbei ist T die Temperatur des Planeten.
-| {{ :inf:daisyworld:sun_earth_relation.png? |}}|m dynamischen Gleichgewicht muss die pro Zeiteinheit (das ist die Leistung) eingestrahlte Energie genau so groß sein, wie die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie, denn wäre z.B. die eingestrahlte Leistung größer, würde sich der Planet immer mehr erwärmen. |
+|{{ :inf:daisyworld:sun_earth_relation.png? |}}|Im dynamischen Gleichgewicht muss die pro Zeiteinheit (das ist die Leistung) eingestrahlte Energie genau so groß sein, wie die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie, denn wäre z.B. die eingestrahlte Leistung größer, würde sich der Planet immer mehr erwärmen.|
-|Wenn die Erde die gesamte von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen soll, dann müssen alle Strahlen senkrecht auf die Erde fallen. Das ist aber nicht der Fall und somit kann die Erde letztlich nur mit seiner Querschnittfläche (π· R2) die von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen.
+|Abbildung 3 Wenn die Erde die gesamte von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen soll, dann müssen alle Strahlen senkrecht auf die Erde fallen. Das ist aber nicht der Fall und somit kann die Erde letztlich nur mit seiner Querschnittfläche ($\pi \cdot R^2$) die von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen. Ein Teil dieser aufgenommen Energie wird unmittelbar reflektiert <color #ed1c24>(rote Pfeile)</color>. Der andere Teil <color #00a2e8>(blaue Pfeile)</color> wird durch Wärmestrahlung abgegeben. Die Wärmestrahlung erfolgt von der gesamten Oberfläche der Erde.||
-Ein Teil dieser aufgenommen Energie wird unmittelbar reflektiert (rote Pfeile). Der andere Teil (blaue Pfeile) wird durch Wärmestrahlung abgegeben. Die Wärmestrahlung erfolgt von der gesamten Oberfläche der Erde. 	Abbildung 3 ||
+Um einen Ausdruck für die eingestrahlte Leistung ($P_{EIN}$) zu erhalten,  wird die Solarkonstante $S_0$ benötigt. Die Solarkonstante taucht jetzt als Produkt mit dem zusätzlichen Parameter L auf. Der Parameter L ermöglicht es, die veränderte Sonneneinstrahlung zu modellieren.
+\begin{equation}I_{EIN} =(1-A) L S_0\end{equation}
+Hierbei wurde die Albedo A des Planeten eingeführt.  Da die Albedo A den Anteil beschreibt der reflektiert wird, beschreibt  der Faktor (1-A)  denjenigen Anteil, der nicht reflektiert  wird und somit auf dem Planeten trifft. Die eingestrahlte Intensität ist also derjenige Teil der Sonneneinstrahlung, der nicht reflektiert wird.\\
+ Um die Albedo  A des Planeten berechnen zu können, ist es notwendig  zu wissen, wie groß der jeweilige Anteil von weißen Blumen, schwarzen Blumen bzw.  der noch unbewachsen Fläche ist. Die Albedo des Planeten ist dann das gewichtete Mittel, das sich aus der jeweiligen Flächenanteile multipliziert mit der zugehörigen Albedo berechnet.
+\begin{equation} A = \alpha_g \; A_g + \alpha_b \; A_b + \alpha_w \; A_w\end{equation}
+Die Albedo A bestimmt damit also indirekt die Planetentemperatur. Da die Albedo A von $\alpha_g$,$\alpha_b$ und $\alpha_w$ abhängig ist, können auf diese Weise die Blumenpopulationen auf die Planetentemperatur einwirken.
+Wir erinnern an den Zusammenhang zwischen Leistung P und Intensität I:   P = I · Fläche.\\
+Aus Abbildung (3) folgt nun:
+\begin{equation} P_{EIN} = I_{EIN} \cdot \pi \cdot R^2\end{equation}
+\begin{equation} P_{AUS} = I_{AUS}\cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2 \end{equation}
+Durch das Gleichsetzen der obigen Ausdrücke und das Einsetzen der Intensitäten, erhalten wir schließlich  Gleichung (15). \\
+//(bitte unbedingt nachrechnen):// \\
+$$ I_{EIN} = 4\; I_{AUS} \Rightarrow (1-A) L S_0 = 4 \sigma \cdot T^4 $$
+\begin{equation} \Rightarrow  T^4 = L \frac{S_0}{4\sigma} (1-A) \end{equation}
+=== Die lokalen Temperaturen und der Transportparameter R ===
+Die lokalen Temperaturen $T_b$ , $T_w$ und $T_g$  sind die jeweiligen Temperaturen der weißen und schwarzen Blumen, sowie der unbewachsenen Fläche.  Schwarze Blumen haben aufgrund ihrer Albedo eine höhere Temperatur als die weißen Blumen. Da die Wachstumsrate β(T)  von der Temperatur abhängt, wirken sich die lokalen Temperaturen auf die Entwickung der Populationen aus. Der Anteil der Blumenpopulationen wird für die Berechnung der Albedo A des Planeten benötigt. Die Albedo A bestimmt wiederum die Temperatur des Planeten. Die verschiedenen (lokalen) Temperaturen können sich mit der Zeit angleichen, da sie durch  Wärmetransport miteinander verbunden sind.  Wie gut (schnell) dieser Temperaturausgleich ist, wird dabei durch den Parameter  R bestimmt. Der Parameter R kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen.
+\\
+Betrachten wir die folgende Gleichung um die Wirkung des Parameters R  auf die lokale Temperatur $T_w$ zu untersuchen: \\
+\begin{equation} T_w^4 = R( 1-A_w) \cdot \frac{L\;S_0}{4\;\sigma} + (1-R)(1-A)\cdot\frac{L\; S_0}{4\;\sigma}\end{equation}
+Für $T_b$ und $T_g$  verläuft die Argumentation völlig analog, deswegen gehen wir in diesem Abschnitt immer von Gl. (16) aus. Die Gleichungen für $T_b$ und $T_g$  lauten:
+\begin{equation} T_b^4 = R( 1-A_b) \cdot \frac{L\;S_0}{4\;\sigma} + (1-R)(1-A)\cdot\frac{L\; S_0}{4\;\sigma}\end{equation}
+\begin{equation} T_g^4 = R( 1-A_g) \cdot \frac{L\;S_0}{4\;\sigma} + (1-R)(1-A)\cdot\frac{L\; S_0}{4\;\sigma}\end{equation}
+Um  sich Gleichungen die durch einen Parameter gesteuert werden zu veranschaulichen, betrachtet man häufig  wie sich die Gleichung für die Randwerte  des Parameters verhalten.  Für Gleichung 16 bedeutet das, dass der Fall $R=0$ und $R=1$ von besonderem Interesse ist:\\
+Wir untersuchen  zuerst den Fall $R = 0$, aus  der Gleichung folgt dann:
+\begin{equation} T_w^4 = ( 1-A) \cdot \frac{L\;S_0}{4\;\sigma} \end{equation}
+Diese Gleichung ist identisch mit Gleichung 8. Es gibt jetzt keinen Unterschied zwischen den Temperaturen mehr: $T_w =T_b =  T$.  Wenn es keinen Unterschied zwischen den Temperaturen gibt, bedeutet das, dass Temperaturunterschiede sofort ausgeglichen werden. Damit beschreibt $R=0$ den Fall des vollständigen Wärmetransport.\\
+Betrachten wir jetzt den Fall R=1 aus Gleichung 16 folgt nun:
+\begin{equation} T_w^4 = ( 1-A_w) \cdot \frac{L\;S_0}{4\;\sigma} \end{equation}
+Dies ist die entgegengesetzte Situation: Die Temperaturen können sich jetzt nicht mehr ausgleichen. Vielmehr ist es so, als existiere jede Population nur  für sich. Dieser Fall beschreibt den Fall ohne Wärmetransport. Damit liegt vollständige Isolation vor.\\ \\ \\
+Wenn der Parameter  R nun zwischen 0 ≤ R ≤ 1 variiert wird, haben wir eine Möglichkeit, den Wärmetransport des Planeten  vorzugeben.  In der Simulation setzen wir $R=0.12$, d.h. die verschiedenen Temperaturen werden relativ schnell einander angeglichen.
+<WRAP center round box 100%>
+{{:inf:uebung.gif?|}} Leiten sie die Gleichung 21a  aus der Gleichung 16 her. Setzen Sie hierfür die Gl.(8) in die Gl.(16) ein um formen sie um.
+{{:inf:solution.gif?|}}   [[https://www.informatics4kids.de/addons-i4k/misc/herleitung_gleichung.png|...aber erst einmal selber probieren]] ;-)
+</WRAP>
 ===== Eine Implementierung in Java =====
+Wir fassen alle benötigten Parameter und Gleichungen noch einmal zusammen, bevor wir einen Algorithmus zur Modellierung von Daisyworld angeben.
 ==== Die verwendete Parameter und Gleichungen ====
+^Parameter^Bedeutung^Parameterbezeichnung in Java^Typische Anfangswerte^
+|$A$|Albedo des Planeten|A| wird berechnet|
+|$A_g$|Albedo der unbewachsenen Fläche|Ag|0.5|
+|$A_b$|Albedo der schwarzen Gänseblumen|Ab|0.25|
+|$A_w$|Albedo der weißen Gänseblumen|Aw|0.75|
+|$\alpha_g$|Anteil der ungewachsenen Fläche (des Untergrundes)|ag|0.8|
+|$\alpha_b$|Anteil (Population) der schwarzen Gänseblumen|ab|0.1|
+|$\alpha_w$|Anteil (Population) der weißen Gänseblumen|aw|0.1|
+|T|Temperatur des Planeten|T|wird berechnet|
+|$T_w$|Temperatur der weißen Gänseblumen (w=white)|Tw| wird berechnet|
+|$T_b$|Temperatur der schwarzen Gänseblumen (b=black)|Tb| wird berechnet|
+|$T_g$|Temperatur der unbewachsenen Fläche (g=ground)|Tg| wird berechnet|
+|$\beta$(...)|Wachstumsfaktor der weißen/schwarzen Blumen	|beta(...)|wird jeweils berechnet|
+|$\gamma$|Sterberate der Blumen|gamma|0.3|
+|L|Kontrollfaktor um die Veränderung der Sonneneinstrahlung ($S_0$) zu modellieren: 0.6 ≤ L ≤ 1.65 L = 1.0 entspricht dem heutigen Wert für die Sonneneinstrahlung.|L|0.6|
+|R|Transportparamer  (0 ≤ R ≤ 1), zur Modellierung des Wärmetransportes.R=1  bedeutet vollständige Isolation und R=0 bedeutet vollständiger Wärmetransport.|R|0.12|
+|$S_0$|Solarkonstante (für die Erde gilt  $S_0 = 1.367\cdot kW/m^2$ wir verwenden hier einen höheren Wert. Für L=1 gilt dann in der Simulation S=3668 )|S|3668|
+|$\sigma$|Stefan Bolzmann Konstante $\sigma=5.67032\cdot 10^{-8}  \frac{W}{K^4\; m^2}$	|sigma	|$5.67032\cdot10^{-8}$|
+|//Tabelle 1://||||
+==== Übersicht über die verwendeten Gleichungen (Temperaturen in Kelvin) ====
+^Bedeutung^Gleichung^Nr.^Beschchreibung^
+|Planetarische Albedo| $A = \alpha_g\;A_g + \alpha_b\;A_b +\alpha_w\;A_w$|(12)|Die planetarische Albedo ist in etwa ein Mittelwert aus der Albedo der schwarzen und weißen Gänseblumen, sowie der Albedo $A_g$ des unbewachsenen Untergrundes.|
+|//<color #00a2e8>Populationsgrößen</color>//||||
+|Änderungsrate der weißen Gänseblümchen| $\frac{d\alpha_w}{dt} = \alpha_w (\alpha_g\; \beta(T_w) -\gamma)$|(3)|Diese Gleichung beschreibt die Entwicklung der weißen Gänseblümchen.|
+|Änderungsrate der schwarzen Gänseblümchen| $\frac{d\alpha_b}{dt} = \alpha_b (\alpha_g\; \beta(T_w) -\gamma)$|(4) |Diese Gleichung beschreibt die Entwicklung der schwarzen Gänseblümchen.|
+|Anteil der unbewachsenen Fläche (des Untergrundes)|$\alpha_g = 1- \alpha_b  -\alpha_w$   |(5)| |
+|//<color #00a2e8>Wachstumsraten</color>//||||
+|Wachstumsrate (weiße Blumen)|$\beta(T_w) =1 - 0.003265\cdot(T_w - 295.5)^2$|(7a) |Für die weißen Blumen wird $T_w$ verwendet: $\beta(T_w)$|
+|Wachstumsrate (schwarze Blumen)|$\beta(T_b) =1 - 0.003265\cdot(T_b - 295.5)^2$|(7b) |Für die schwarzen Blumen wird $T_b$ verwendet: $\beta(T_b)$|
+|//<color #00a2e8>Temperaturen</color>//||||
+|Temperatur des Planeten|$T^4 = L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(1-A)$ |(8)|
+|Temperatur der weißen Gänseblumen|$T^4_w = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_w)+ T^4$ |(21a) |
+|Temperatur der schwarzen Gänseblumen|$T^4_b = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_b)+ T^4$ |(21b)|
+|Termperatur der unbewachsenen Fläche|$T^4_g = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_g)+ T^4$ |(21c)|
+|//Tabelle 2: //||||
 ==== Der Algorithmus ====
+^Schritte^Beschreibung^
+|**Step 1.**|Startwerte festlegen (Starte mit L=0.6 - dieser Parameter regelt die Sonneneinstrahlung).|
+|**Step 2.**|Berechne die Albedo des Planeten A|
+|**Step 3.**|<WRAP>
+Berechne sämtliche Temperaturen:
+  * Berechne die Temperatur des Planeten $T$.
+  * Berechne die Temperaturen der weißen $T_w$ Blumen.
+  * Berechne die Temperaturen der schwarzen $T_w$ Blumen.
+  * Berechne die Temperatur der unbewachsenen Fläche $T_g$.
+</WRAP>|
+|**Step 4.**|<WRAP>Berechne die Wachstumsrate β der weißen Gänseblumen.\\
+Berechne die Wachstumsrate β der schwarzen Gänseblumen.
+</WRAP>|
+|**Step 5.**|<WRAP>Berechne $\alpha_w$ den neuen Anteil der weißen Gänseblumen.\\
+Berechne $\alpha_b$ den neuen Anteil der schwarzen Gänseblumen.\\
+Berechne $\alpha_g$ den neuen Anteil der unbewachsenen Fläche.\\
+Hinweis: Es gilt $\alpha_w + \alpha_b+\alpha_g = 1$. \\ Falls eine Gänseblumenart < 0.01 ist ($\alpha_b$  < 0.01 oder $\alpha_w$ < 0.01), wird sie zurück auf 0.01 gesetzt.
+</WRAP>|
+|**Step 6.**|Wiederhole von **Step 2.**, solange bis die Populationsgrößen (Flächenanteile) $\alpha_w$ und $\alpha_b$ konvergieren. Oder eine bestimmte Schrittzahl erreicht wurde.|
+|**Step 7.**|<WRAP>Zeichne die neuen Anteile $\alpha_w$ und $\alpha_b$ in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung in ein Koordinatensystem. \\
+Alternativ kann auch die Temperatur des Planeten in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Zum Vergleich sollte dann auch die Temperatur des Planeten ohne Leben eingetragen werden.
+</WRAP>|
+|** Step 8.**|Erhöhe L und wiederhole von **Step 2.** um die nächsten Wertepaare zu erhalten.|
+|//Tabelle 3:// ||
+Die Änderungen von $\alpha_w$ und $\alpha_b$ werden durch Differentialgleichungen beschrieben, dies muss in der Numerik gesondert berücksichtigt werden. Wir verwenden den Euler-Algorithmus zur numerischen Lösung der Differentialgleichungen mit einer Schrittweite (timeStep) Δt = 0.01 und 1000 Iterationen (**Step 6**). **Step 6** bedeutet ferner, dass das System jeweils genügend Zeit hat, sich in einem stabilen Systemzustand zu entwickeln, bevor L inkrementiert wird.  Zu beachten ist auch, dass die Werte $\alpha_w$ und $\alpha_b$   nur einmal am Anfang initialisiert werden und dann über die gesamte Simulation nicht mehr verändert werden. Lovelock und Watson setzten $\alpha_w$  und  $\alpha_b$ gleich 0.01, wenn diese Größen einen Wert unter 0.01 annehmen bevor es mit **Step 2** weitergeht, das machen wir natürlich auch so. Der Algorithmus ist robust, d.h. initialisiert man z.B. das System neu bevor man jeweils mit** Step 2** beginnt, dann ändert sich die Dynamik nicht grundsätzlich, allerdings hängt sie dann wesentlich stärker von den Populationsgrößen ab.  Die Modellvariante, bei dem die Populationen nicht immer neu initialisiert werden, ist die realistischere Variante.
+\\ Eine Java Bibliothek Daisyworld  (inkl. Sourcecode)  steht (falls gewünscht) zur Verfügung. Die Abbildungen 1 und 2 wurden mit dieser Java-Klasse und dem freien Tool //xmgrace// erstellt.
 ===== Lesetipps =====
@@ Zeile 204: / Zeile 330: @@
 Dieses interessante  Modell  hat noch nicht ausgedient. Hier eine Liste mit Folgeartikeln, die aufbauend auf dem einfachen 'Daisywold' Modell viele weitere Aspekte der theoretischen Ökologie behandeln:
+|weitere Literatur ||
+|<WRAP>
   * Ackland (2004)
   * Ackland et al (2003)
@@ Zeile 230: / Zeile 358: @@
   * Lapenis (2002)
   * Lenton (1998)
+</WRAP>|<WRAP>
   * Lenton (2002)
   * Lenton & Lovelock (2000)
@@ Zeile 256: / Zeile 385: @@
   * Williams & Nobel (2005)
   * Zeng (1990)
+</WRAP>|