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--- gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 15:21] – [Das Gravitationsgesetz - Kräfte sind Vektoren] torsten.roehl
+++ gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 17:37] (aktuell) – torsten.roehl
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-Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Massenpunkten (hier ma und mb). Der vektorielle Charakter der Kraft muss in der Modellierung berücksichtigt werden.  Mit bezeichnen wir die Kraft, die von der Masse ma auf mb ausgeübt wird.  Dann gilt nach Newton:
+Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Massenpunkten (hier $m_a$ und $m_b$). Der vektorielle Charakter der Kraft muss in der Modellierung berücksichtigt werden.  Mit $\overrightarrow{F}_{ab} $ bezeichnen wir die Kraft, die von der Masse $m_a$ auf $m_b$ ausgeübt wird.  Dann gilt nach Newton:
+\begin{equation} \overrightarrow{F_{ab}} = G\; m_a\; m_b \frac{\overrightarrow{r_a} - \overrightarrow{r_b}}{ | \overrightarrow{r}_a - \overrightarrow{r_b} |^3} \end{equation}
+Hier bezeichnet $G =6.67 \cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$  die Gravitationskonstante. Wir erwähnen noch, dass die Kraft proportional zum Quadrat des Abstandes (~ 1/r²) ist und dass sie entlang der Verbindungsgeraden der beiden Massen gerichtet ist (das ist eine Eigenschaft, die sogenannte Zentralkräfte aufweisen).
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+Die obige Gleichung (Gl. 1)  lässt sich ein wenig vereinfachen, wenn man davon ausgeht, dass sich die Masse $m_a$ im Nullpunkt des Koordinatensystems befindet (dann ist nämlich $r_a  = 0$ ). Außerdem lassen wir die Indizes weg:
+\begin{equation} \overrightarrow{F} = -G\; \frac{m_a\; m_b}{r^2}  \cdot \frac{\overrightarrow{r}}{r}\end{equation}
+Dabei ist $\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ der Einheitsvektor in Richtung von $\overrightarrow{r}$. In dieser Form begegnet man dem Gravitationsgesetz häufig.
+==== Das 2. Newtonsche Axion ====
+Vollständigkeitshalber notieren wir noch kurz das 2. Newtonsche Axiom. Es besagt, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist.
+$$\overrightarrow{F}= m \cdot \overrightarrow{a} $$
-Hier bezeichnet G =$6.67 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$  die Gravitationskonstante. Wir erwähnen noch, dass die Kraft proportional zum Quadrat des Abstandes (~ 1/r²) ist und dass sie entlang der Verbindungsgeraden der beiden Massen gerichtet ist (das ist eine Eigenschaft, die sogenannte Zentralkräfte aufweisen).
 =====  Implementierung in Java =====
+Wir wollen die Bewegung eines Planeten, der um die Sonne kreist, mit Java modellieren. Dafür brauchen wir im Grunde lediglich eine Tabelle, in der die Position (X- und Y-Koordinaten) für verschiedene Zeitpunkte eingetragen ist. Jedes Koordinatenpaar (x|y) wird dann graphisch dargestellt.
+^X Position^Y Position^Zeitpunkt^
+|$x(t_0$)| $y(t_0)$| $t_0$ |
+|$x(t_1$)| $y(t_1)$| $t_1$ |
+|$x(t_2$)| $y(t_2)$| $t_2$ |
+| ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte|
+|$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ |
+|//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// |||
+<WRAP center round help 100%>
+Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können.
+</WRAP>
 ==== Modellbeschreibung ====
+Die Planetenbahnen werden durch das Newtonsche Gesetz beschrieben.\\
+Die Kraft ** F** besitzt als Vektor drei Komponenten **F**=($F_x$,$F_y$,$F_z$). Da die Bewegung aber nur in der Ebene stattfindet, brauchen wir lediglich zwei der drei Komponenten berücksichtigen, d.h. wir setzen die Komponente  $F_z = 0$.  Mit $m_a = M$ bezeichnen wir ab jetzt die Masse der Sonne und mit $m_b=m$  die des Planeten.
+\\
+\\
+Die beiden resultierenden Gleichungen für die X- und Y-Komponente der Gravitationskraft lauten dann:
+\begin{equation} m\cdot a_x = m\cdot\frac{dv_x}{dt} = - G\cdot m\cdot M\frac{x}{r^3}\end{equation}
+\begin{equation} m\cdot a_y = m\cdot\frac{dv_y}{dt} = - G\cdot m\cdot M\frac{y}{r^3}\end{equation}
+Mit $a_x$ bezeichnen wir die X-Komponente der Beschleunigung und mit $v_x$  wird die X-Komponente der Geschwindigkeit bezeichnet. Dementsprechend ist x die erste Komponente des Vektors r. Entsprechendes gilt auch für die zweite Zeile mit y.
+Der Abstand des Planeten von der Sonne ist
+\begin{equation} r=\sqrt{x^2 + y^2}  \end{equation}
+Diese Gleichung diskretisieren wir jetzt, um die Geschwindigkeiten im nächsten Iterationsschritt zu erhalten:
+\begin{equation} v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G  M \frac{x}{r^3}) \Delta t \end{equation}
+\begin{equation}v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t   \end{equation}
+Für die Bahnkoordinaten verwenden wir den Euler-Cromer-Algorithmus
+\begin{equation} x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t \end{equation}
+\begin{equation} y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t  \end{equation}
+**
+Heuristische Herleitung**
+|{{ :inf:diffquotient.png? |}}|
+|//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//|
+Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit  einer gewählten Schrittweite (Δt).
+{{:inf:hinweis.gif?|}}
+Diese Gleichungen benötigen, wie alle Differentialgleichungssysteme, genaue Anfangsbedingungen, um überhaupt mit der Berechnung starten zu können. Umgekehrt legen diese Anfangsbedingungen die Bahn des Planeten dann aber auch eindeutig fest. (siehe auch Abschnitt "Einführung in die Numerik")
+\\
+\\
+Die Anfangsbedingungen sind die Orte (Positionen x(0) und y(0))  zum Startzeitpunkt $t=0$ und die Geschwindigkeiten ($v_x(0)$,$v_y(0)$).
 ==== Algorithmus ====
+Wir fassen alle benötigten Parameter und Gleichungen noch einmal zusammen, bevor wir einen Algorithmus zur Berechnung der Planetenbahnen angeben.
+^Parameter^Bedeutung^Bezeichnung in Java^Typische Anfangswerte^
+|G|Gravitationskonstante $6.67\cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2}$|G|11.802378240000001|
+|M|Sonnenmasse M ≈ $2\cdot 10^{30}$ kg|M|1.0|
+|r|Abstand Sonne - Planeten (für die Erde 1AE = $150 \cdot 10^6$ km).  AE ist die Abkürzung für Astronomische Einheit|r|1.0|
+|$x_0$|X-Komponenten zum Startzeitpunkt|x0|1.0|
+|$y_0$|Y-Komponenten zum Startzeitpunkt|y0|0.0|
+|$v_{x_0}$|X-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vx0|0.0|
+|$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color #c3c3c3>entspricht 29.78 km/s</color>|
+|Δt|Schrittweite|timeStep|0.005	<color #c3c3c3>entspricht 1 Tag (d)</color>|
+|//Tabelle:  Parameter und deren Bedeutung//||||
+{{:inf:hinweis.gif?|}}
+Vielleicht beunruhigt es den einen oder anderen, dass die Parameter in der Simulation scheinbar nicht mit denen in der Natur übereinstimmen, tatsächlich hängen aber die numerischen Werte dieser Parameter von der gewählten Maßeinheit ab. Für die Gravitationskonstante gilt, dass sie eine positive Konstante ist. Die Sonnenmasse wurde auf 1 skaliert, genau wie der Abstand Erde-Sonne. Der Wechsel zu anderen Einheiten kommt  unabhängig von der Numerik  auch in anderen Gebieten der Physik vor. So werden z.B. in der theoretischen Physik häufig ℏ=c=1 gesetzt (hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und ℏ eine Naturkonstante, die in der Quantenphysik eine wichtige Rolle spielt). Unabhängig von diesen Parameterwerten muss wie immer ein geeigneter Maßstab von berechneten Koordinaten zu den Bildschirmkoordinaten in der Java Anwendung definiert werden.
+{{:inf:aufgabe.gif?|}}
+Zeigen Sie,  dass die Gravitationskonstante G in dem gewählten System (Tabelle) den Wert $11.802378240000001$ annimmt.
+{{:inf:solution.gif?|}}
+|1 AE|=	$150\cdot 10^9$ m|→ 1 m = $\frac{1}{150\cdot 10^9}$ AE|
+|1 M|= 	$2\cdot 10^{30}$ kg|→ 1 kg = $\frac{1}{2\cdot 10^{30}}$ M|
+|1d|= 	86400 s = 0.005 Δt|→ 1 s =$\frac{0.005}{86400}$ Δt|
+Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen:
+$G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30})  ( \frac{0.005}{86400})^{-2} = 11.802378240000001$
+{{:inf:uebung.gif?|}}
+Welchen Zahlenwert  nimmt  in diesem System eine Geschwindigkeit von 42.1 km/s (das ist die sogenannte 3. kosmische Geschwindigkeit)  an?
+\\
+<color #c3c3c3>ghost solution</color><color #ffffff>4.84992</color>
+\\
+\\
+\\
+^Gleichung^Bedeutung^
+|$r=\sqrt{x^2+y^2}$ |Abstand Sonne-Planet|
+|$v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G  M \frac{x}{r^3}) \Delta t$ |x-Komponente der Geschwindigkeit|
+|$v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$ |y-Komponente der Geschwindigkeit|
+|$x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t $ |x-Komponente des Ortes|
+|$y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$ |y-Komponente des Ortes|
+|Tabelle: Gleichungen für die Simulation||
+== Algorithmus ==
+  - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt)
+  - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem.
+  - Berechne den Abstand Sonne-Planet.
+  - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$  und $v_y$  für den nächsten Zeitschritt.
+  - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt.
+  - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem
+  - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde.