gravitation_-_planetenbahnen
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gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 15:50] – [Modellbeschreibung] torsten.roehl | gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 17:37] (aktuell) – torsten.roehl | ||
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| ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | | ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | ||
|$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | |$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | ||
- | + | |//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | |
- | //Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | + | |
<WRAP center round help 100%> | <WRAP center round help 100%> | ||
Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | ||
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Diese Gleichung diskretisieren wir jetzt, um die Geschwindigkeiten im nächsten Iterationsschritt zu erhalten: | Diese Gleichung diskretisieren wir jetzt, um die Geschwindigkeiten im nächsten Iterationsschritt zu erhalten: | ||
- | vx(t + Δt) = vx(t) - (G M x/r3) Δt | + | \begin{equation} v_x(t + \Delta |
- | vy(t + Δt) = vy(t) - (G M y/r3) Δt | + | \begin{equation}v_y(t + \Delta |
Für die Bahnkoordinaten verwenden wir den Euler-Cromer-Algorithmus | Für die Bahnkoordinaten verwenden wir den Euler-Cromer-Algorithmus | ||
+ | \begin{equation} x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t \end{equation} | ||
+ | \begin{equation} y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t \end{equation} | ||
- | x(t + Δt) = x(t) + vx(t + Δt) Δt | + | ** |
- | y(t + Δt) = y(t) + vy(t + Δt) Δt. | + | Heuristische Herleitung** |
+ | |{{ : | ||
+ | |//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite | ||
- | {{ :inf:diffquotient.png? |}} | + | Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit |
+ | |||
+ | {{:inf:hinweis.gif?|}} | ||
+ | Diese Gleichungen benötigen, wie alle Differentialgleichungssysteme, | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Die Anfangsbedingungen sind die Orte (Positionen x(0) und y(0)) zum Startzeitpunkt $t=0$ und die Geschwindigkeiten ($v_x(0)$, | ||
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==== Algorithmus ==== | ==== Algorithmus ==== | ||
+ | Wir fassen alle benötigten Parameter und Gleichungen noch einmal zusammen, bevor wir einen Algorithmus zur Berechnung der Planetenbahnen angeben. | ||
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+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ^Parameter^Bedeutung^Bezeichnung in Java^Typische Anfangswerte^ | ||
+ | |G|Gravitationskonstante $6.67\cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2}$|G|11.802378240000001| | ||
+ | |M|Sonnenmasse M ≈ $2\cdot 10^{30}$ kg|M|1.0| | ||
+ | |r|Abstand Sonne - Planeten (für die Erde 1AE = $150 \cdot 10^6$ km). AE ist die Abkürzung für Astronomische Einheit|r|1.0| | ||
+ | |$x_0$|X-Komponenten zum Startzeitpunkt|x0|1.0| | ||
+ | |$y_0$|Y-Komponenten zum Startzeitpunkt|y0|0.0| | ||
+ | |$v_{x_0}$|X-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vx0|0.0| | ||
+ | |$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color # | ||
+ | |Δt|Schrittweite|timeStep|0.005 < | ||
+ | |// | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | Vielleicht beunruhigt es den einen oder anderen, dass die Parameter in der Simulation scheinbar nicht mit denen in der Natur übereinstimmen, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | Zeigen Sie, dass die Gravitationskonstante G in dem gewählten System (Tabelle) den Wert $11.802378240000001$ annimmt. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |1 AE|= $150\cdot 10^9$ m|→ 1 m = $\frac{1}{150\cdot 10^9}$ AE| | ||
+ | |1 M|= $2\cdot 10^{30}$ kg|→ 1 kg = $\frac{1}{2\cdot 10^{30}}$ M| | ||
+ | |1d|= 86400 s = 0.005 Δt|→ 1 s =$\frac{0.005}{86400}$ Δt| | ||
+ | |||
+ | Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | ||
+ | $G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30}) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | Welchen Zahlenwert | ||
+ | \\ | ||
+ | <color # | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ^Gleichung^Bedeutung^ | ||
+ | |$r=\sqrt{x^2+y^2}$ |Abstand Sonne-Planet| | ||
+ | |$v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G M \frac{x}{r^3}) \Delta t$ |x-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$ |y-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t $ |x-Komponente des Ortes| | ||
+ | |$y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$ |y-Komponente des Ortes| | ||
+ | |Tabelle: Gleichungen für die Simulation|| | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Algorithmus == | ||
+ | - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt) | ||
+ | - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem. | ||
+ | - Berechne den Abstand Sonne-Planet. | ||
+ | - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ für den nächsten Zeitschritt. | ||
+ | - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt. | ||
+ | - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem | ||
+ | - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde. | ||
gravitation_-_planetenbahnen.1705161037.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/13 15:50 von torsten.roehl