gravitation_-_planetenbahnen
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gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 16:34] – [Algorithmus] torsten.roehl | gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 17:37] (aktuell) – torsten.roehl | ||
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| ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | | ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | ||
|$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | |$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | ||
- | + | |//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | |
- | //Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | + | |
<WRAP center round help 100%> | <WRAP center round help 100%> | ||
Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | ||
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** | ** | ||
Heuristische Herleitung** | Heuristische Herleitung** | ||
- | {{ : | + | |{{ : |
- | //Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.// | + | |//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//| |
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Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit | Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit | ||
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|$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color # | |$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color # | ||
|Δt|Schrittweite|timeStep|0.005 < | |Δt|Schrittweite|timeStep|0.005 < | ||
- | // | + | |// |
{{: | {{: | ||
Zeile 121: | Zeile 119: | ||
Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | ||
- | $G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot (\frac{1}{150\cdot 10^9})^3 | + | $G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30}) |
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<color # | <color # | ||
\\ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ^Gleichung^Bedeutung^ | ||
+ | |$r=\sqrt{x^2+y^2}$ |Abstand Sonne-Planet| | ||
+ | |$v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G M \frac{x}{r^3}) \Delta t$ |x-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$ |y-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t $ |x-Komponente des Ortes| | ||
+ | |$y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$ |y-Komponente des Ortes| | ||
+ | |Tabelle: Gleichungen für die Simulation|| | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Algorithmus == | ||
+ | - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt) | ||
+ | - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem. | ||
+ | - Berechne den Abstand Sonne-Planet. | ||
+ | - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ für den nächsten Zeitschritt. | ||
+ | - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt. | ||
+ | - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem | ||
+ | - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde. | ||
gravitation_-_planetenbahnen.1705163698.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/13 16:34 von torsten.roehl