Lernen in Hopfield-Netzen

Um verstehen zu können, wie ein Hopfieldnetz Muster lernt, benutzen wir ein besonders einfaches Netz mit lediglich 4 Neuronen.
Wir wollen, dass das Hopfield-Netz zwei einfache Bilder lernen soll. Schwarze Pixel werden mit 1, weiße mit -1 kodiert.

Anschießend zeigen wir, dass das Netzwerk, nachdem es die Muster gelernt hat, diese auch wiedererkennen kann.

$V_1 = \{1,-1,1,-1\}$	$V_2 = \{1,1,-1,-1\}$
Diese beiden Muster, repräsentiert durch v1 und v2, soll unser Netz lernen.

Bei Hopfieldnetzwerken können die Gewichte ohne ein aufwendiges Lernverfahren direkt aus den Eingabevektoren berechnet werden. Da wir zwei Muster haben, erhalten wir zunächst auch zwei Gewichtsmatrizen (für jedes Muster eine). Durch Addition dieser Matrizen erhalten wir dann die entgültige Matrix W. Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften dieser Matrizen zusammen:

• Jedes Muster generiert zunächst eine eigene Matrix.
• Die Größe der Matrix hängt von der Größe der Eingabevektoren ab. Hat der Eingabevektor n Komponenten, so hat die daraus resultierende Matrix n x n Komponenten.
  • In unserem Beispiel ist n = 4, also besitzt die Matrix 16 Einträge.
• Alle Diagonalelemente $w_{ii}$ dieser Matrix sind 0.
• Die Matrix ist symmetrisch, d.h. $w_{ij} = w_{ji}$.
  • Für unser Beispiel bedeutet das, dass von den 16 Einträgen nur noch (16 -4 ) / 2 = 6 Einträge berechnet werden müssen.
• Die endgültige Matrix W ist die Summe aller einzelnen Matrizen, d.h. in unserem Beispiel $W = W_1 + W_2$

\begin{equation} W=\begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14} \\\ w_{21} & w_{22} & w_{23} & w_{24}\\\ w_{31} & w_{32} & w_{33} & w_{34} \\\ w_{41} & w_{42} & w_{43} & w_{44} \end{pmatrix} \end{equation}

Die Matrix für Muster aus unserem Beispiel. Da die Vektoren vier Komponenten haben, ist die Matrix vom Typ 4×4. Der erste Index bezeichnet die Zeile und der zweite Index die Spalte, d.h., $w_{23}$ ist der Eintrag in der 2. Zeile und 3. Spalte.

Es bleibt das Problem, die eigentlichen Werte (Gewichte) $w_{ij}$ zu berechnen. Dies ist aber relativ einfach, denn es gilt:

• Das Gewicht $w_{ij}$ ist das Produkt aus der i-ten Komponente des Vektors mit der j-ten Komponente der Vektors.

Wir berechnen als Übung das Gewicht $w_{23}$ des ersten Musters $V_1$. Es gilt: $w_{23} = x_2 \cdot x_3 = (-1) (1) = -1$.

Nach diesem Prinzip ergeben sich somit zuerst die beiden Matrizen $W_1$ und $W_2$

\begin{equation} W_1=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \\\ -1 & 0 & -1 & 1\\\ 1 & -1 & 0 & -1 \\\ -1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation} W_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 \\\ 1 & 0 & -1 & -1\\\ -1 & -1 & 0 & 1\\\ -1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

Hieraus resultiert dann die endgültige Matrix W = W1 + W2:

\begin{equation} W=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -2 \\\ 0 & 0 & -2 & 0\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\ -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

Da wir nun die Gewichtsmatrix kennen, bzw. berechnen können, ist der eigentliche Lernvorgang des Netzwerkes bereits abgeschlossen.

Wir wollen nun zeigen, das das Netzwerk diese Muster auch wirklich gelernt hat. Dazu präsentieren wir dem Netzwerk das 1. Muster und berechnen die Ausgabe. Da das Netzwerk als autoassoziativer Speicher arbeiten soll, erwarten wir das die Ausgabe des Netzwerks ebenfalls das erste Muster ist.

Um die gesamte Netzwerkausgabe zu berechnen müssen folgende Schritte gemacht werden:

• Für jedes Neuron muss die gewichtete Summe berechnen werden. Dies ist nichts anderes als die Multiplikation der Gewichtsmatrix mit dem Eingabevektor: $V_{\text{neu}} = W \cdot v$
  • Alternativ kann man auch jede Komponente mit der Formel $net_j$ = Σ $w_{ij} \cdot x_i$ berechnen. Die Matrixschreibweise impliziert genau dies und ist damit nur eine elegante Form der Notation.
• Für jede Komponente des errechneten Vektors ($V_{\text{neu}}$ ) muss mithilfe der Aktivierungsfunktion der neue Zustand berechnet werden.
• Die letzten beiden Punkte müssen so oft wiederholt werden, bis sich das Netz stabilisiert hat, d.h., bis sich keine Änderung des Ausgabemusters mehr ergibt.
  • In der Praxis sollte man bedenken, dass es vorkommen kann, dass sich das Netz nicht entscheiden kann, und es somit zwischen zwei verschiedenen Mustern oszilliert.

1. $V_{\text{neu}} = W \cdot v = \{2,-2,2,-2\}$
2. für jede dieser Komponenten ergibt die Aktivierungsfunktion nun {1,-1,1,-1}. Dies ist aber der Vektor (das Muster) v1, womit gezeigt wurde, dass das Netz das Muster wiedererkannt hat.

Rechnen Sie nach, ob das Netzwerk auch das 2. Muster richtig erkennt.