Einführung in die Numerik

Die vielleicht wichtigste Gleichung in der Physik ist das Hook'sche Gesetz:

\begin{equation} \overrightarrow{F} = -k \cdot \overrightarrow{x} \end{equation}

Ut tensio, sic vis (1678)

Das Hook'sche Gesetz wird in der Physik behandelt. Wir wollen es hier nur so weit in Erinnerung rufen (bzw. in eine Form bringen), wie es für die Numerik nützlich ist.

Für das Hook'sche Gesetz gilt:

• $\overrightarrow{x}$, ist die Strecke (in m), um die die Feder (von ihrer Ruhelage aus gemessen) ausgedehnt wird.
• $\overrightarrow{F}$, ist die rücktreibende Kraft (in Newton N). Die rücktreibende Kraft ist der Kraft, die zur Auslenkung der Feder benötigt wird, entgegengesetzt, deshalb ist ein Minuszeichen nötig.
• k, ist die Federkonstante (Einheit: N/m). Sie hängt von der Federsorte ab. Ist also experimentell zu bestimmen. Eine Federkonstante von z.B. k = 3 N/m bedeutet, dass sich die Feder um einen halben Meter dehnt, wenn sie mit einer Kraft von 1.5 N belastet würde.

a)

b)

a) Der originale Versuchsaufbau von Robert Hook (1635-1704). b) Federpendel Eine Animation der Gleichung F = - k x von Oleg Alexandrow

Die Kraft, die nötig ist, um die Feder zu dehnen, wird umso größer je weiter die Feder gedehnt werden soll. Wir gehen davon aus, dass wir die Feder nur so weit dehnen wollen, dass sie, ohne beschädigt zu werden, wieder in den Ausgangszustand gelangt, ansonsten gilt das Hook'sche Gesetz natürlich nicht.

Diesen Sachverhalt schreiben wir mathematisch so:

• F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante k dann gilt: $ F = k \cdot x$

Entsprechend gilt für die Rücktreibende Kraft:

• F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante -k folgt: $F = - k \cdot x$

Wir schreiben diese Gleichung jetzt in eine Form, wie sie für die Numerik benötigt wird. Dazu muss man allerdings das 2.Newtonsche Axion ($\overrightarrow{F}=m \cdot \overrightarrow{a}$) kennen, außerdem sollte man wissen, wie die Geschwindigkeit und Beschleunigung definiert ist.

Die Ableitung nach der Zeit kennzeichnen wir mit einem Punkt über der Variablen. Damit schreiben wir für die Geschwindigkeit: \begin{equation}v = \frac{dx}{dt} = \dot x \end{equation} Für die Beschleunigung erhalten wir jetzt: \begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = \frac{d \dot x}{dt} = \ddot x \end{equation} Damit lautet nun das Hook'sche Gesetz: \begin{equation} F= m\cdot a = m \ddot x = - k\cdot x \rightarrow \ddot x = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}

Aus der ursprünglichen einen Gleichung sind jetzt zwei geworden, dafür liegen sie jetzt in einer Form vor, wie es für die Numerik benötigt wird.

Das Hook'sche Gesetz (anders geschrieben)

\begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}

\begin{equation}a = \frac{dx}{dt} = v \end{equation}

Wie sieht das Phasendiagramm für den harmonischen Oszillator (Federpendel) aus?

Die potentielle Energie des Federpendels ist: $E_{pot} = \frac{1}{2} k\cdot x^2$ Die kinetische Energie des Federpendels ist: $E_{kin} = \frac{1}{2}m \cdot v^2$

Für den Fall des ungedämpften und sich ohne Reibung bewegten Federpendels hört die Bewegung niemals auf. Permanent wandelt sich potentielle Energie in kinetische Energie um (und umgekehrt). Das bedeutet aber, dass die Gesamtenergie des Systems eine Konstante sein muss. Die kinetische Energie ist $E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2$. Die potentielle Energie des Federpendels ist $E_{pot} = \frac{1}{2}k\dot x^2$. Demnach gilt: $$ \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E = const. $$ Das ist aber die Gleichung für eine Ellipse in x und v, d.h. das Phasendiagramm des Federpendels ist damit eine Ellipse. Wenn sich das Teilchen mit der Zeit bewegt, bewegt sich der Phasenpunkt entlang einer ellipsenförmigen Trajektorie. Wenn das Teilchen sich einmal herumbewegt hat und wieder am Ausgangspunkt angekommen ist, dann ist eine Periode vorbei und es geht von vorne los.

Für jede periodische Bewegung gilt, dass das Phasendiagramm geschlossene Trajektorien besitzt.

Die Methode init (Zeile 9) muss zuerst aufgerufen werden, um die Anfangswerte für den Ort, Geschwindigkeit sowie die Schrittweite zu setzen.

Mit der Methode nextEuler() (Zeile 15) wird jeweils eine Iteration durchgeführt.

Mit getX() und getV() kann nach jeder Iteration der neu berechnete Ort (Geschwindigkeit) ausgegeben werden.

public class Euler {
 
   private double x;
   private double v;
   private double t;
 
   public Euler() {  }
 
   public void init(double x0, double v0, double timeStep){
    t = timeStep;
    x = x0 + v0 * t;
    v = v0 - x0 * t;
   }
 
   public void nextEuler(){
     double x_old = x;
     x = x + v * t;
     v = v - x_old * t;
   }
  
  public double getX(){
     return x;
  }
  public double getV(){
    return v;
  }
}

Die Gleichungen für das Euler-Cromer- Verfahren sind fast identisch mt denen des Euler-Verfahrens. Lediglich bei der Berechnung des Ortes wird die gerade erst berechnete Geschwindigkeit eingesetzt, wohingegen das Euler-Verfahren dort mit dem „alten“ Geschwindigkeitswert weiter rechnet.

$$v(t+\Delta t) = v(t) - x(t) \Delta t)$$

$$x(t+\Delta t) = x(t) + v(t+\Delta t) \Delta t$$

Dennoch im Ergebnis unterscheiden sich die Verfahren stark. Will man z.B. Planetenbahnen berechnen, ist das Euler-Verfahren im allgemeinen unbrauchbar.

public class EulerCromer{
   private double x;
   private double v;  
   private double t; 
 
 public EulerCromer() {}
 
  public void init(double x0, double v0, double timeStep){
      t = timeStep;
      v = v0 - x0 * t;
      x = x0 + v * t;
   } 
  public void nextEulerCromer(){ 
      v = v + x * t;
      x = x - v * t;
  } 
  public double getX(){
    return x;
  } 
  public double getV() {
     return v; }
}

Numerische Lösung für das Federpendel. Das Eulerverfahren ist hier nicht geeignet die Trajektorien des Federpendels auch nur eine Periode lang richtig zu simulieren. (Schrittweiter 0.1, k=1, m=1, x0 =0 , v0 = 1.5) - Die Grafik wurde mit GnuPlot von Finn Ole Schröder und Vanessa Sobotta erstellt.