Unterschiede

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--- gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 16:03] – [Algorithmus] torsten.roehl
+++ gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 17:37] (aktuell) – torsten.roehl
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 | ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte|
 | $x(t_n$ )|  $y(t_n)$ |  $t_n$  |
+|//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// |||
-//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn//
 <WRAP center round help 100%>
 Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können.
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 Heuristische Herleitung**
-{{ :inf:diffquotient.png? |}}
+|{{ :inf:diffquotient.png? |}}|
-//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//
+|//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//|
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 Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit  einer gewählten Schrittweite (Δt).
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 ^Parameter^Bedeutung^Bezeichnung in Java^Typische Anfangswerte^
-|G| Gravitationskonstante ( $6.67\cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2}$ )|G|11.802378240000001|
+|G|Gravitationskonstante  $6.67\cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2}$ |G|11.802378240000001|
+|M|Sonnenmasse M ≈  $2\cdot 10^{30}$  kg|M|1.0|
+|r|Abstand Sonne - Planeten (für die Erde 1AE =  $150 \cdot 10^6$  km).  AE ist die Abkürzung für Astronomische Einheit|r|1.0|
+| $x_0$ |X-Komponenten zum Startzeitpunkt|x0|1.0|
+| $y_0$ |Y-Komponenten zum Startzeitpunkt|y0|0.0|
+| $v_{x_0}$ |X-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vx0|0.0|
+| $v_{y_0}$ |Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color #c3c3c3>entspricht 29.78 km/s</color>|
+|Δt|Schrittweite|timeStep|0.005	<color #c3c3c3>entspricht 1 Tag (d)</color>|
+|//Tabelle:  Parameter und deren Bedeutung//||||
+{{:inf:hinweis.gif?|}}
+Vielleicht beunruhigt es den einen oder anderen, dass die Parameter in der Simulation scheinbar nicht mit denen in der Natur übereinstimmen, tatsächlich hängen aber die numerischen Werte dieser Parameter von der gewählten Maßeinheit ab. Für die Gravitationskonstante gilt, dass sie eine positive Konstante ist. Die Sonnenmasse wurde auf 1 skaliert, genau wie der Abstand Erde-Sonne. Der Wechsel zu anderen Einheiten kommt  unabhängig von der Numerik  auch in anderen Gebieten der Physik vor. So werden z.B. in der theoretischen Physik häufig ℏ=c=1 gesetzt (hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und ℏ eine Naturkonstante, die in der Quantenphysik eine wichtige Rolle spielt). Unabhängig von diesen Parameterwerten muss wie immer ein geeigneter Maßstab von berechneten Koordinaten zu den Bildschirmkoordinaten in der Java Anwendung definiert werden.
+{{:inf:aufgabe.gif?|}}
+Zeigen Sie,  dass die Gravitationskonstante G in dem gewählten System (Tabelle) den Wert  $11.802378240000001$  annimmt.
+{{:inf:solution.gif?|}}
+|1 AE|=	 $150\cdot 10^9$  m|→ 1 m =  $\frac{1}{150\cdot 10^9}$  AE|
+|1 M|= 	 $2\cdot 10^{30}$  kg|→ 1 kg =  $\frac{1}{2\cdot 10^{30}}$  M|
+|1d|= 	86400 s = 0.005 Δt|→ 1 s = $\frac{0.005}{86400}$  Δt|
+Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen:
+$G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30})  ( \frac{0.005}{86400})^{-2} = 11.802378240000001$
+{{:inf:uebung.gif?|}}
+Welchen Zahlenwert  nimmt  in diesem System eine Geschwindigkeit von 42.1 km/s (das ist die sogenannte 3. kosmische Geschwindigkeit)  an?
+\\
+<color #c3c3c3>ghost solution</color><color #ffffff>4.84992</color>
+\\
+\\
+\\
+^Gleichung^Bedeutung^
+| $r=\sqrt{x^2+y^2}$  |Abstand Sonne-Planet|
+| $v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G  M \frac{x}{r^3}) \Delta t$  |x-Komponente der Geschwindigkeit|
+| $v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$  |y-Komponente der Geschwindigkeit|
+| $x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t$  |x-Komponente des Ortes|
+| $y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$  |y-Komponente des Ortes|
+|Tabelle: Gleichungen für die Simulation||
+== Algorithmus ==
+  - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt)
+  - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem.
+  - Berechne den Abstand Sonne-Planet.
+  - Berechne die Geschwindigkeiten  $v_x$   und  $v_y$   für den nächsten Zeitschritt.
+  - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt.
+  - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem
+  - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde.