Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- ifs_-_iterierte_funktionensysteme [2024/01/20 17:00] – [Typen von Transformationen] torsten.roehl
+++ ifs_-_iterierte_funktionensysteme [2024/01/20 18:41] (aktuell) – [Beispiel] torsten.roehl
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 ===== Iterierte Funktionensysteme - das Prinzip =====
+Das Prinzip der iterierten Funktionensysteme ist in der obenstehenden Abbildung erläutert. Im Allgemeinen ist ein Satz von   Transformationen (f1(x,y), f2(x,y), ..., fn (x,y)) gegeben. Ausgehend von einem Punkt P(x | y) in der Ebene, wählt man durch Zufall eine der Transformationen aus und erhält somit wieder einen Punkt in der Ebene.
+Diesen so erhaltenen neuen Punkt "steckt" man erneut in die Transformation hinein. Alle Punkte die man auf diese Weise erhält, werden gezeichnet. Die so entstehenden Grafiken besitzten eine außerordentliche Komplexität und Schönheit. Mithilfe des IFS-Codes, der alle Informationen enthält, lassen sich diese Grafiken erzeugen.
 ===== IFS-Code =====
+Ein IFS-Code ist eine Tabelle, in der die Koeffizienten (a,b,c,d,e,f)  für jede Funktion stehen. Dadurch ist die Transformation vollständig beschrieben. Außerdem stehen noch die Wahrscheinlichkeiten, mit der jeder dieser Funktionen aufgerufen wird, dabei.
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
+| $f_1(x,y)$ |0|0|0|	0.16|0|0|0.01|
+| $f_2(x,y)$ |0.85 |0.04 |-0.04 |0.85 |0 |1.6 |0.85|
+| $f_3(x,y)$ |0.2 |-0.26 |0.23 |0.11 |0 |1.6 |0.07 |
+| $f_4(x,y)$ |-0.15 |0.28 |0.26|0.24|0|0.44|0.07|
+|**//IFS-Code: 1//**  ||||||||
 ===== Beispiel ====
+In der Praxis benötigt man viele 10.000 Punkte. Wir hören hier nach drei Iterationen auf.\\
+**Das Beispiel bezieht sich auf die Tabelle: IFS-Code 1.**
+  - Anfangspunkt:  $P_0(1 | 1)$  (zufällig gewählt)
+  - zufällig gewählte Funktion  $f_2$   (ist mit 85% auch die am häufigsten benutzte)
+  - mit   $f_2 (1,1)$    ergibt sich dann für  $P_1  ( 0.89 | 2.41   )$
+  - gewählte Funktion  wieder  $f_2$
+  - mit  $f_2( 0.89,  2.41  )$  ergibt sich dann für  $P_2 ( -0.85 | 3.61  )$
+  - zufällig gewählte Funktion diesmal  $f_3$
+  - mit  $f_3 ( -0.85  , 3.61  )$  erhält man nun  $P_3 ( -0.77 |  2.19   )$
+  - ....
+Die Punkte  $P_1$ ,  $P_2$ , $P_3$   werden gezeichnet.
 =====  Weitere IFS-Codes =====
-==== IFS-Code A ====
+==== IFS-Code: 2 ====
-==== IFS-Code B ====
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
-==== IFS-Code C ====
+| $f_1(x,y)$ |0.14 | 	 0.01  | 0  |0.51    | -0.08     |-1.31  |0.1 |
-==== IFS-Code D ====
+| $f_2(x,y)$ |0.43 | 	 0.52  |	-0.45 | 	0.5 	 | 1.49 | 	-0.75 	 |0.35 |
-==== IFS-Code F ====
+| $f_3(x,y)$ |0.45 | 	-0.49 |     	 0.47 	 |0.47  |	-1.62 	 |-0.74 	 |0.35 |
+| $f_4(x,y)$ |0.49 | 	 0 	 | 0  |	0.51 	 | 0.02 | 	 1.62 	 |0.2 |
+|**//IFS-Code: 2//**  ||||||||
+==== IFS-Code: 3 ====
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
+| $f_1(x,y)$ |-0.04  | 0  |-0.23 | -0.65  | -0.08 | 0.26 | 0.15 |
+| $f_2(x,y)$ | 0.61 | 0 | 0  | 0.31 |  0.07  |3.5  |0.22 |
+| $f_3(x,y)$ | 0.65 | 0.18  |   -0.3 | 0.48 | 0.74 |0.39  |0.15 |
+| $f_4(x,y)$ | 0.64 |-0.2  |0.32 | 0.56 	 |-0.66  |0.9 	|0.48 |
+|**//IFS-Code: 3//**  ||||||||
+==== IFS-Code: 4 ====
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
+| $f_1(x,y)$ |0.05| 0| 0| 0.6| 0 | 0| 0.028|
+| $f_2(x,y)$ |0.05|0 |0| -0.5| 0| 1| 0.023256|
+| $f_3(x,y)$ |0.459627 |-0.321394  | 0.385673| 0.383022|0|0.6| 0.279070|
+| $f_4(x,y)$ |0.469846| -0.153909|  0.171010|0.422862| 0 |1.1 |0.209302|
+| $f_5(x,y)$ |0.433013| 0.275000| -0.250000| 0.476314| 0| 1.0 |0.255814|
+| $f_6(x,y)$ |0.421325| 0.257115| -0.353533| 0.306418| 0| 0.7| 0.204651|
+|**//IFS-Code: 4//**  ||||||||
+==== IFS-Code: 5 ====
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
+| $f_1(x,y)$ |0.05|0|0|0.6|0|0| 1/6|
+| $f_2(x,y)$ |0.05|0|0| -0.5|0| 1| 1/6|
+| $f_3(x,y)$ |0.459677| -0.321343| 0.385612|0.383065|0| 0.6| 1/6|
+| $f_4(x,y)$ |0.469858|-0.153966| 0.170979| 0.422841| 0| 1.1|1/6|
+| $f_5(x,y)$ |0.432912| 0.275191| -0.250174| 0.476204| 0| 0.1|1/6|
+| $f_6(x,y)$ |0.421371| 0.257075| -0.353478| 0.306452| 0| 0.7|1/6|
+|**//IFS-Code: 5//**  ||||||||
+==== IFS-Code: 6 ====
+^Funktion^a^b^c^d^e^f^Wahrscheinlichkeit^
+| $f_1(x,y)$ |0.05|0|0 |0.4 |-0.06 |-0.47 |0.026000|
+| $f_2(x,y)$ |-0.05| 0 |0 |-0.4 |-0.06 |-0.47 |0.026399|
+| $f_3(x,y)$ |0.03| -0.14 |0 |0.26 |-0.16  |-0.01 |0.010296|
+| $f_4(x,y)$ |-0.03| 0.14 |0 |-0.26 |-0.16 |-0.01  |0.010296|
+| $f_5(x,y)$ |0.56| 0.44 |-0.37 |0.51 |0.3 |0.15 |0.591869|
+| $f_6(x,y)$ |0.19| 0.07|-0.01 |0.15 |-0.2 |0.28 |0.038543|
+| $f_7(x,y)$ |-0.33| -0.34 |-0.33 |0.34 |-0.54 |0.39 |0.296597|
+|**//IFS-Code: 6//**  ||||||||