lernen_in_hopfield-netzen
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lernen_in_hopfield-netzen [2024/01/21 14:31] – torsten.roehl | lernen_in_hopfield-netzen [2024/01/21 15:01] (aktuell) – [Wiedererkennen eines gespeicherten Musters] torsten.roehl | ||
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====== Lernen in Hopfield-Netzen | ====== Lernen in Hopfield-Netzen | ||
- | Um verstehen zu können, wie ein Hopfieldnetz Muster lernt, | + | Um verstehen zu können, wie ein Hopfieldnetz Muster lernt, |
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+ | Anschießend zeigen wir, dass das Netzwerk, nachdem es die Muster gelernt hat, diese auch wiedererkennen | ||
+ | kann. | ||
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+ | <WRAP center round info 100%> | ||
+ | Um diesem Abschnitt verstehen zu können, muss man wissen, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |{{ : | ||
+ | |$V_1 = \{1, | ||
+ | |Diese beiden Muster, repräsentiert durch v1 und v2, soll unser Netz lernen. || | ||
+ | ===== Die Gewichtsmatrix ===== | ||
+ | Bei Hopfieldnetzwerken können die Gewichte ohne ein aufwendiges Lernverfahren direkt aus den Eingabevektoren berechnet werden. Da wir zwei Muster haben, erhalten wir zunächst auch zwei Gewichtsmatrizen (für jedes Muster eine). | ||
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+ | * Jedes Muster generiert zunächst eine eigene Matrix. | ||
+ | * Die Größe der Matrix hängt von der Größe der Eingabevektoren ab. Hat der Eingabevektor n Komponenten, | ||
+ | * //In unserem Beispiel ist n = 4, also besitzt die Matrix 16 Einträge.// | ||
+ | * Alle Diagonalelemente $w_{ii}$ dieser Matrix sind 0. | ||
+ | * Die Matrix ist symmetrisch, | ||
+ | * //Für unser Beispiel bedeutet das, dass von den 16 Einträgen nur noch (16 -4 ) / 2 = 6 Einträge berechnet werden müssen.// | ||
+ | * Die endgültige Matrix W ist die Summe aller einzelnen Matrizen, d.h. in unserem Beispiel | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W=\begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14} | ||
+ | \end{equation} | ||
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+ | Die Matrix für Muster aus unserem Beispiel. Da die Vektoren vier Komponenten haben, ist die Matrix vom Typ 4x4. Der erste Index bezeichnet die Zeile und der zweite Index die Spalte, d.h., $w_{23}$ ist der Eintrag in der 2. Zeile und 3. Spalte. | ||
+ | |||
+ | Es bleibt das Problem, die eigentlichen Werte (Gewichte) $w_{ij}$ | ||
+ | * **Das Gewicht $w_{ij}$ | ||
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+ | Wir berechnen als Übung das Gewicht $w_{23}$ | ||
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+ | |||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W_1=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \\\ -1 & 0 & -1 & 1\\\ 1 & -1 & 0 & -1 \\\ -1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 | ||
+ | \end{equation} | ||
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+ | Hieraus resultiert dann die endgültige Matrix W = W1 + W2: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | W=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -2 \\\ 0 & 0 & -2 & 0\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\ -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Da wir nun die Gewichtsmatrix kennen, bzw. berechnen können, ist der eigentliche Lernvorgang des Netzwerkes bereits abgeschlossen. | ||
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+ | ===== Wiedererkennen eines gespeicherten Musters===== | ||
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+ | Wir wollen nun zeigen, das das Netzwerk diese Muster auch wirklich gelernt hat. Dazu präsentieren wir dem Netzwerk das 1. Muster und berechnen die Ausgabe. Da das Netzwerk als autoassoziativer Speicher arbeiten soll, erwarten wir das die Ausgabe des Netzwerks ebenfalls das erste Muster ist. | ||
+ | |||
+ | Um die gesamte Netzwerkausgabe zu berechnen müssen folgende Schritte gemacht werden: | ||
+ | |||
+ | * Für jedes Neuron muss die gewichtete Summe berechnen werden. | ||
+ | * Alternativ kann man auch jede Komponente mit der Formel $net_j$ = Σ $w_{ij} \cdot x_i$ berechnen. | ||
+ | * Für jede Komponente des errechneten Vektors ($V_{\text{neu}}$ ) muss mithilfe der Aktivierungsfunktion der neue Zustand berechnet werden. | ||
+ | * Die letzten beiden Punkte müssen so oft wiederholt werden, bis sich das Netz stabilisiert hat, d.h., bis sich keine Änderung des Ausgabemusters mehr ergibt. | ||
+ | * //In der Praxis sollte man bedenken, dass es vorkommen kann, dass sich das Netz nicht entscheiden kann, und es somit zwischen zwei verschiedenen Mustern oszilliert. | ||
+ | // | ||
+ | === Für das Beispiel erhalten wir === | ||
+ | |||
+ | - $V_{\text{neu}} | ||
+ | - für jede dieser Komponenten ergibt die Aktivierungsfunktion nun {1, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
- | Anschießend zeigen wir, dass das Netzwerk, nachdem es die Muster gelernt hat, diese auch wiedererkennen kann. |
lernen_in_hopfield-netzen.1705847464.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/21 14:31 von torsten.roehl