Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- bilder_rotieren [2024/01/20 11:25] – [Herleitung der Transformationsgleichung:] torsten.roehl
+++ bilder_rotieren [2024/02/07 08:23] (aktuell) – torsten.roehl
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-|FIXME|FIXME|
+| {{ :inf:java:smiley00.png?150 |}} |{{ :inf:java:smiley45.png? |}}|
-|Das originale Bild ist hier Quadratisch FIXME.|Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt FIXME  groß sein. |
+|Das originale Bild ist hier Quadratisch mit ''222x222'' Pixeln.|Das Bild wurde um 45° Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt ''314x314'' Pixel  groß sein. |
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  $\begin{equation}  \color{blue}{p\prime_x} = cos(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} - sin(\varphi) \cdot \color{red}{p_y}  \\  \color{blue}{p\prime_y} = sin(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} + cos(\varphi) \cdot \color{red}{p_y} \end{equation}$
-==== Beispiel ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
 <WRAP center round box 100%>
-**Aufgabe:**\\
+{{:inf:aufgabe.gif?|}}
 Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um **40°**, wenn der alte Bildpunkt **P(10,30)** ist?\\
-**Lösung:**\\
+{{:inf:solution.gif?|}}
 Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:
   * sin(40°)=0,643
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 Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll.
-  - Vom zu rotierenden Bild<color #ff7f27>  $\text{Bild}_{\text{ALT}}$ </color> werden die  Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
+  - Vom zu rotierenden Bild<color #ff7f27>  $\text{Bild}_{\text{ALT}}$ </color> wird die  Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
   - Ein leeres Bild <color #7092be> $\text{Bild}_{\text{NEU}}$ </color> wird erzeugt.
       * Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden!
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 Mit **toScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, die (mathematisch) kartesische Koordinaten in Bildkoordinaten transformiert.
-  * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|) oben links und  besitzen nur positive integer Werte
+  * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|0) oben links und  besitzen nur positive integer Werte
 ===== Herleitung der Transformationsgleichung: =====
+Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her.
 ==== Voraussetzungen ====
+Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.
+  * cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α)
+  * sin(φ + α )  = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α)
+Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es  aber ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.
 ==== Herleitung ====
+|{{:inf:java:rot2d.png?320|}} | {{:inf:java:cossin.png?170|}}|
+|Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt (transformiert). |Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen. \\ **Schauen Sie sich beides solange an, bis ihnen das gelingt!** |
+|<WRAP>Ausgehend von den Addtionstheoremen für Cosinus und Sinus, werden zuerst cos(α) bzw. sin(α) durch ihre rechten Seiten ersetzt.\\ \\  Jetzt ersetzen wir
+sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten. \\ \\ \\ \\ Der Radius r kürzt sich heraus.</WRAP> | {{:inf:java:herleitung.png?330|}}|
+| Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden. :-) ||