Die vielleicht wichtigste Gleichung in der Physik ist das Hook'sche Gesetz:

\begin{equation} \overrightarrow{F} = -k \cdot \overrightarrow{x} \end{equation}

Ut tensio, sic vis (1678)

Das Hook'sche Gesetz wird in der Physik behandelt. Wir wollen es hier nur so weit in Erinnerung rufen (bzw. in eine Form bringen), wie es für die Numerik nützlich ist.

Das Hook'sche Gesetz lautet: $\overrightarrow{F} = -k \cdot \overrightarrow{x}$

Hierbei ist:

• $\overrightarrow{x}$ die Strecke (in m), um die die Feder (von ihrer Ruhelage aus gemessen) ausgedehnt wird.
• $\overrightarrow{F}$ die rücktreibende Kraft (in Newton N). Die rücktreibende Kraft ist der Kraft, die zur Auslenkung der Feder benötigt wird, entgegengesetzt, deshalb ist ein Minuszeichen nötig.
• k die Federkonstante (Einheit: N/m). Sie hängt von der Federsorte ab. Ist also experimentell zu bestimmen. Eine Federkonstante von z.B. k = 3 N/m bedeutet, dass sich die Feder um einen halben Meter dehnt, wenn sie mit einer Kraft von 1.5 N belastet würde.
• Vektoren werden mit Pfeilen gekennzeichnet, manchmal werden sie hier der Übersichtshaber weggelassen, gehören dann aber immer dazu gedacht

a)

b)

a) Die Orginalversuchsanordnung von Robert Hook (1635-1704).\\b) Federpendel: Eine Animation der Gleichung F = - k x von Oleg Alexandrow

Die Kraft, die nötig ist, um die Feder zu dehnen, wird umso größer je weiter die Feder gedehnt werden soll. Wir gehen davon aus, dass wir die Feder nur so weit dehnen wollen, dass sie, ohne beschädigt zu werden, wieder in den Ausgangszustand gelangt, ansonsten gilt das Hook'sche Gesetz natürlich nicht.

Diesen Sachverhalt schreiben wir mathematisch so:

• F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante k dann gilt: $ F = k \cdot x$

Entsprechend gilt für die Rücktreibende Kraft:

• F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante -k folgt: $F = - k \cdot x$

Wir schreiben diese Gleichung jetzt in eine Form, wie sie für die Numerik benötigt wird. Dazu muss man allerdings das 2.Newtonsche Axion ($\overrightarrow{F}=m \cdot \overrightarrow{a}$) kennen, außerdem sollte man wissen, wie die Geschwindigkeit und Beschleunigung definiert ist.

Die Ableitung nach der Zeit kennzeichnen wir mit einem Punkt über der Variablen. Damit schreiben wir für die Geschwindigkeit: \begin{equation}v = \frac{dx}{dt} = \dot x \end{equation} Für die Beschleunigung erhalten wir jetzt: \begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = \frac{d \dot x}{dt} = \ddot x \end{equation} Damit lautet nun das Hook'sche Gesetz: \begin{equation} F= m\cdot a = m \ddot x = - k\cdot x \rightarrow \ddot x = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}

Aus der ursprünglichen einen Gleichung sind jetzt zwei geworden, dafür liegen sie jetzt in einer Form vor, wie es für die Numerik benötigt wird.

Das Hook'sche Gesetz (anders geschrieben)

\begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}

\begin{equation}a = \frac{dx}{dt} = v \end{equation}