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Einführung in die Numerik
Die vielleicht wichtigste Gleichung in der Physik ist das Hook'sche Gesetz:
\begin{equation} \overrightarrow{F} = -k \cdot \overrightarrow{x} \end{equation}
Ut tensio, sic vis (1678)
Hook'sche Gesetz
Das Hook'sche Gesetz wird in der Physik behandelt. Wir wollen es hier nur so weit in Erinnerung rufen (bzw. in eine Form bringen), wie es für die Numerik nützlich ist.
Für das Hook'sche Gesetz gilt:
- $\overrightarrow{x}$, ist die Strecke (in m), um die die Feder (von ihrer Ruhelage aus gemessen) ausgedehnt wird.
- $\overrightarrow{F}$, ist die rücktreibende Kraft (in Newton N). Die rücktreibende Kraft ist der Kraft, die zur Auslenkung der Feder benötigt wird, entgegengesetzt, deshalb ist ein Minuszeichen nötig.
- k, ist die Federkonstante (Einheit: N/m). Sie hängt von der Federsorte ab. Ist also experimentell zu bestimmen. Eine Federkonstante von z.B. k = 3 N/m bedeutet, dass sich die Feder um einen halben Meter dehnt, wenn sie mit einer Kraft von 1.5 N belastet würde.
 a) | b) | a) Der originale Versuchsaufbau von Robert Hook (1635-1704). b) Federpendel Eine Animation der Gleichung F = - k x von Oleg Alexandrow |
Die Kraft, die nötig ist, um die Feder zu dehnen, wird umso größer je weiter die Feder gedehnt werden soll. Wir gehen davon aus, dass wir die Feder nur so weit dehnen wollen, dass sie, ohne beschädigt zu werden, wieder in den Ausgangszustand gelangt, ansonsten gilt das Hook'sche Gesetz natürlich nicht.
Diesen Sachverhalt schreiben wir mathematisch so:
- F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante k dann gilt: $ F = k \cdot x$
Entsprechend gilt für die Rücktreibende Kraft:
- F~ x → F/x = const. Nennen wir die Konstante -k folgt: $F = - k \cdot x$
Wir schreiben diese Gleichung jetzt in eine Form, wie sie für die Numerik benötigt wird. Dazu muss man allerdings das 2.Newtonsche Axion ($\overrightarrow{F}=m \cdot \overrightarrow{a}$) kennen, außerdem sollte man wissen, wie die Geschwindigkeit und Beschleunigung definiert ist.
Die Ableitung nach der Zeit kennzeichnen wir mit einem Punkt über der Variablen. Damit schreiben wir für die Geschwindigkeit: \begin{equation}v = \frac{dx}{dt} = \dot x \end{equation} Für die Beschleunigung erhalten wir jetzt: \begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = \frac{d \dot x}{dt} = \ddot x \end{equation} Damit lautet nun das Hook'sche Gesetz: \begin{equation} F= m\cdot a = m \ddot x = - k\cdot x \rightarrow \ddot x = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}
Aus der ursprünglichen einen Gleichung sind jetzt zwei geworden, dafür liegen sie jetzt in einer Form vor, wie es für die Numerik benötigt wird.
Das Hook'sche Gesetz (anders geschrieben)
\begin{equation}a = \frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m} \cdot x \end{equation}
\begin{equation}a = \frac{dx}{dt} = v \end{equation}
Was ist ein Phasendiagramm?
| Phasendiagramm - ein Diagramm mit der Geschwindigkeit (Impuls) als Ordinate und dem Ort als Abszisse. Phasenpunkt - ein Punkt in der x-v-Ebene zu einem bestimmten Zeitpunkt Trajektorie - eine Kurve, die sich ergibt, wenn der Phasenpunkt sich in der Zeit bewegt. |
Wenn sich ein Teilchen entlang der x-Achse bewegt, wird dessen Bewegung häufig als ein Graph der Koordinate (wir nennen sie hier x) oder aber der Geschwindigkeit (v=dx/dt) als Funktion der Zeit dargestellt. Eine andere aber überaus nützliche Darstellungsweise erhält man, wenn man die Geschwindigkeit v des Teilchens in Abhängigkeit von der Position x zu jedem Zeitpunkt t graphisch darstellt. Für einen bestimmten Zeitpunkt t erhält man so einen Punkt (x(t),v(t)), den man als Phasenpunkt bezeichnet. Dieser Punkt wird sich im Laufe der Zeit weiter bewegen. Die Kurve die sich dabei ergibt, bezeichnet man als Trajektorie und die Fläche (b.z.w. Raum), in der sich das Teilchen bewegt als Phasenfläche (Phasenraum). Das Diagramm als ganzes nennt sich dann Phasendiagramm. Solche Diagramme spielen eine wichtige Rolle in allen Forschungsrichtungen der nichtlinearen Dynamik (z.B. Chaosphysik). |
Wie sieht das Phasendiagramm für den harmonischen Oszillator (Federpendel) aus?
weniger wichtig
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