Iterierte Funktionssysteme sind in der Lage, mit wenigen Regeln komplexe, natürlich aussehende Geometrien zu erzeugen.

Ein Punkt \(P(x|y) \) der Ebene wird durch eine Gleichung auf einen anderen Punkt \(P'(x|y) \) abgebildet (transformiert). Wenn der Punkt lediglich verschoben wird, dann spricht man von einer Translation. Aber es gibt noch andere wichtige Transformationen. Besonders häufig auftretende Transformationen sind:

• Translation (Verschiebung)
• Rotation (Drehung)
• Scherung
• Spiegelung

Am elegantesten lassen sich solche Transformation in Matrixschreibweise darstellen bzw. berechnen. Multipliziert man diese Matrizen aus, gelangt man zu den weiter unten stehenden Gleichungen. Dieser Abschnitt geht nicht weiter auf die Matrizenrechnung ein, da sie für unser Vorhaben nicht notwendig ist. Es sei noch angemerkt, dass diese Art der Darstellungen aber z.B. in der Computergrafik wichtig ist. In der Ebene lassen sich alle genannten Transformationen durch die folgenden beiden Gleichungen vollständig beschreiben:

\[ \begin{align} x_{n+1} & = a x_n + b y_n + e \\ y_{n+1} & = c x_n + d y_n + f \\ \end{align} \]

Die Koeffizienten \(a,b,c,d,e,f\) sind (reelle) Zahlen. Der Punkt vor der Transformation \( P(x_n | y_n ) \) wird dabei auf dem Punkt \( P(x_{x+1} | y_{n+1}) \) abgebildet.