Bilder Rotieren

 

     
Dieser Abschnitt zeigt wie sich Bilder um einen beliebigen Winkel φ (sprich PHI) rotieren lassen.

  • Rotation (lat. rotatio: Drehung)
   



Wenn Bilder um einen Winkel φ gedreht (rotiert) werden sollen, muss beachtet werden, dass das rotierte Bild eventuell größer als das orginale Bild werden kann.

 

orginal todo gedrehtes Bild todo
Das orginale Bild ist hier Quadratisch todoxtodo. Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Damit das komplete Bild sichtbar ist muss es jetzt todoxtodo groß sein.

 

  • Wenn Bilder gedreht werden, ist das Drehzentrum in der Regel der Mittelpunkt des Bildes
  • Der wichtgste Parameter bei der Rotation ist der Drehwinkel φ. Die Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
  • In Java werden die Drehwinkel nicht in Grad, sondern in Rad angegeben. Es gilt 360° = 2 Π rad. Winkel werden also nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß verwendet.


Für die Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß gilt die Beziehung:




 

Die Transformationsgleichung für die Rotation

Bei der Rotation wird jeder Bildpunkt P(x|y) des Orginalbildes in einen neuen Bildpunkt P´(x|y) überführt.

  • mit altem Bildpunkt P( px | py ) bezeichnen wir die Bildpunkte des orginalen Bildes.
  • mit neuem Bildpunkt P' ( p´x | p´y ) werden die transformierten Bildpunkte bezeichnet (P´ lies P Strich).


Gesucht ist eine Transformation, die ausgehend von dem alten Bildpunkt, sowie dem gewünschen Drehwinkel, einen neuen Bildpunkt berechnet.

neuer Bildpunkt = Transformation R(φ) · alter Bildpunkt
  • R(φ) ist die sogennante Transformationsmatrix um den Winkel φ



Wir werden an dieser Stelle die Transformation gleich angeben und zeigen, wie man mit ihr arbeitet. Eine Herleitung dieser Gleichungen ist weiter unten angegeben.
Die gesuchten Transformationgleichungen sind:


x = cos(φ) · px - sin(φ) · py

y = sin(φ) · px + cos(φ) · py



 

 

Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um 40°, wenn der alte Bildpunkt P(10,30) ist?

 

 

   

Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:

sin(40°)=0,643

cos(40°)=0.766

Eingesetzt in die Transformationsformeln ergibt sich:

px´ = 0.766·10 - 0,643·30 = -11,63

py´ = 0,643·10 + 0,766·30 = 29,41

Die neuen Koordinaten sind damit P´( -11,63 | 29,41 ).



Die folgende Java Methode benutzt die Java Klasse Point, um die Transformation zu berechnen.

 

public Point rotation(Point point, double angle){

      Point result = new Point();

      double c = Math.cos(angle);
      double s = Math.sin(angle);

      result.x = c*point.x - s*point.y;
      result.y = s*point.x + c*point.y;

      return result;
}







orginal bild rotiertes bild
Orginal. Das um xx Grad gedrehte Bild.





Herleitung der Transformationsgleichung:

Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her.

Voraussetzungen

Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.
Sie lauten:

cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α)

sin(φ + α ) = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α)



Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.

Herleitung




Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt
(transformiert).

Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen. Schauen Sie sich beides solange an,

bis ihnen das gelingt!









Ausgehend von den Addtionstheoremem für Cosinus und Sinus,

werden zuerst cos(α) bzw. sin(α) durch ihre rechten Seiten ersetzt.

 



Jetzt ersetzen wir
sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten.

Der Radius r kürzt sich heraus.
 
 
Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden.