Digitale Filter - Glätten Median und Gauß

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man mit Hilfe von Filtern Bilder glätten kann, womit man z.B. in der Lage ist, verrauschte Bilder aufzupolieren oder Bilder weich zu zeichnen.

  Der Inhalt des Abschnittes  Digitale Filer - Bildoperatoren muss bekannt sein

Dieser Abschnitt stellt drei Filter vor. Mit dem Medianfilter können verrauschte Bilder erstaunlich gut korrigiert werden, während der Gauß-Filer zum Weichzeichnen von Bildern benutzt werden kann. Alle Filter werden auf Graubilder angewandt.

Anwendung des Mittelwert-Filters auf ein Bild

\[ M_{\text{Mittelwert}} =\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}\]

Berechnen Sie den neuen Bildpunkt.

 \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]

 

  2

Das folgende Programm lädt ein Bild und berechnet durch Anwendung des Mittelwert-Filters einen neuen Bildpunkt an der Stelle x=5, y=4:

int todo = 0;
add code here
image image
Orginal Graubild     Das Bild nach Anwendung des Mittelwert-Filters.

Anwendung des Gauß-Filters (Weichzeichnen) auf ein Bild

\[ M_{\text{Gauß}}  \frac{1}{16}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\]

Berechnen Sie den neuen Bildpunkt.

 \[ I = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 10 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

 

  3

 Das folgende Programm lädt ein Bild und berechnet durch Anwendung des Gauß-Filters einen neuen Bildpunkt an der Stelle x=5, y=4:

add code here
bild todo bild todo
Orginal Graubild        Das Bild nach Anwendung des Gauß-Filters

 

Anwendung des Median-Filters auf ein Bild

Was ist der Median?

Bevor der Median-Filter angewandt werden kann, muss man wissen was der Median überhaupt ist. Ähnlich wie der Mittelwert wird der Median in der Statistik benutzt, um aus einer Reihe von Werten (Liste) einen neuen Wert zu bestimmen, welcher die Liste möglichst gut repräsentiert. Wenn einige Werte aus der Liste besonders groß (oder klein) sind (sogenannte Ausreißer), ist der Median häufig besser als der Mittelwert geeignet, um einen repräsentativen Wert der Liste zu ermitteln.

Warum ist bei Ausreißern in der Liste der Median eine gute Wahl?

Um den Median (bei einer ungeraden Anzahl von Werten) zu bestimmen, wird die Liste der größe nach sortiert. Der Wert in der Mitte der Liste ist dann der Median.

  1. Liste:    L = (1,3,2,4,7,5,8,9,0)
  2. Liste sortieren:   L = ( 0,1,2,3,4,5,7,8,9)
  3. Median bestimmen: L = ( 0,1,2,3,4,5,7,8,9) → 4

Algorithmus für den Median-Filter

Um den Median zu bestimmen, werden alle Werte eines 3x3-Bildbereichs in eine Liste geschrieben. Anschließend wird die Liste sortiert. Der Wert an der 4. Stelle ist der gesuchte Wert, wenn man bei 0 anfängt, zu zählen.

  1. Lege einen 3x3-Bildbereich fest. Der Bildpunkt in der Mitte des 3x3-Bildbereich ist neu zu berechnen.
  2. Lese alle Werte dieses Bildbereichs in eine Liste.
  3. Sortiere die Liste und bestimme den Median
  4. Schreibe diesen Wert in ein neues Bild.

Die obigen Schritte sind für alle Pixel (außer den Randpixeln) anzuwenden um ein vollständiges Bild zu bekommen.

 

Berechnung des Median. Die neun Bildwerte des 3x3-Bildbereichs werden sortiert.

Der Wert in der Mittte (hier 3) ist dann der Medianwert. Dieser Wert wird in ein neues Bild eingetragen.

 

Java Beispiel

Das folgende Programm lädt ein Bild und berechnet durch Anwendung des Median-Filters einen neuen Bildpunkt an der Stelle x=5, y=4:

add code here

 

image image
Orginal Graubild.   Bild nach Anwendung des Median-Filters.