Gravitation - Planetenbahnen

In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Planeten unter den Einfluss eines Zentralgestirns (der Sonne) modellieren. Die Kräfte, die die beiden Körper aufeinander ausüben, werden durch Newtons Gravitationsgesetz beschrieben. Wir betrachten ein vereinfachtes Modell, bei dem z.B. die große Masse M der Sonne ruht, dennoch sind wir in der Lage anhand dieses Modells z.B. das zweite Keplersche Gesetz zu überprüfen.

Der Abschnitt Einführung in die Numerik sollte bereits behandelt worden sein, um diesen Abschnitt verstehen zu können. Des Weiteren sollte die Behandlung des Inhaltes  Java Applet nicht zu lange zurückliegen.

Physikalische Grundlagen

Das Gravitationsgesetz

Kräfte sind Vektoren

Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Massenpunkten (hier ma und mb). Der vektorielle Charakter der Kraft muss in der Modellierung berücksichtigt werden.  Mit bezeichnen wir die Kraft, die von der Masse ma auf mb ausgeübt wird.  Dann gilt nach Newton: Hier bezeichnet G = 6.67 10-11 m3 kg-1 s-2  die Gravitationskonstante. Wir erwähnen noch, dass die Kraft proportional zum Quadrat des Abstandes (~ 1/r²) ist und dass sie entlang der Verbindungsgeraden der beiden Massen gerichtet ist (das ist eine Eigenschaft, die sogenannte Zentralkräfte aufweisen).

Die obige Gleichung läßt sich ein wenig vereinfachen, wenn man davon ausgeht, dass sich die Masse m_a im Nullpunkt des Koordinatensystems befindet (dann ist nämlich r_a  = 0 ). Außerdem lassen wir die Indizes weg:

Dabei ist r/r der Einheitsvektor in Richtung von r. In dieser Form begegnet man dem Gravitationsgesetz häufig.

Das 2. Newtonsche Axiom

Vollständigkeitshalber notieren wir noch kurz das 2. Newtonsche Axiom. Es besagt, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist.

Implementierung in Java

Modellbeschreibung

Die Planetenbahnen werden durch das Newtonsche Gesetz beschrieben.

Die Kraft F besitzt als Vektor drei Komponenten F=(F_x, F_y,F_z). Da die Bewegung aber nur in der Ebene stattfindet, brauchen wir lediglich zwei der drei Komponenten berücksichtigen, d.h. wir setzen die Komponente  F_z = 0.  Mit m_a = M bezeichnen wir ab jetzt die Masse der Sonne und mit m_b=m  die des Planeten.

Die beiden resultierenden Gleichungen für die X- und Y-Komponente der Gravitationskraft lauten dann:

m a_x = m  dv_x/dt  =   -G m M x/r³
m a_y   =   m  dv_y/dt =    - G m M y/r³

Mit a_x bezeichnen wir die X-Komponente der Beschleunigung und mit v_x  wird die X-Komponente der Geschwindigkeit bezeichnet. Dementsprechend ist x die erste Komponente des Vektors r. Entsprechendes gilt auch für die zweite Zeile mit y.
Der Abstand des Planeten von der Sonne ist

Heuristische Herleitung

Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf nicht zu groß gewählt werden.

 

 
Die letzten Gleichungen liefern uns die Positionen (x und y) in Abhändigkeit  einer gewählten Schrittweite (Δt).

	Diese Gleichungen benötigen, wie alle Differentialgleichungssysteme, genaue Anfangsbedingungen, um überhaupt mit der Berechnung starten zu können. Umgekehrt legen diese Anfangsbedingungen die Bahn des Planeten dann aber auch eindeutig fest. (siehe auch Abschnitt "Einführung in die Numerik")

  
Die Anfangsbedingungen sind die Orte (Positionen x(0) und y(0))  zum Startzeitpunkt und die Geschwindigkeiten (v_x(0), v_y(0)).

Der Algorithmus

	Vielleicht beunruhigt es den einen oder anderen, dass die Parameter in der Simulation scheinbar nicht mit denen in der Natur übereinstimmen, tatsächlich hängen aber die numerischen Werte dieser Parameter von der gewählten Maßeinheit ab. Für die Gravitationskonstante gilt, dass sie eine positive Konstante ist. Die Sonnenmasse wurde auf 1 skaliert, genau wie der Abstand Erde-Sonne. Der Wechsel zu anderen Einheiten kommt  unabhängig von der Numerik  auch in anderen Gebieten der Physik vor. So werden z.B. in der theoretischen Physik häufig ℏ=c=1 gesetzt (hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und ℏ eine Naturkonstante, die in der Quantenphysik eine wichtige Rolle spielt). Unabhängig von diesen Parameterwerten muss wie immer ein geeigneter Maßstab von berechneten Koordinaten zu den Bildschirmkoordianten in der Java Anwendung definiert werden.
	Zeigen Sie,  dass die Gravitationskonstante G in dem gewählten System (Tabelle 2) den Wert 11.802378240000001 annimmt.
	1 AE = 150·109 m →  1 m = (150·109)-1 AE 1 M  = 2·1030 kg → 1 kg = (2·1030)-1 M 1d = 86400 s = 0.005 Δt → 1 s = 0.005/86400 Δt Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: G = 6.67·10-11 m3 kg-1 s-2 → 6.67·10-11  ( (150·109)-1)3  (2·1030)  ( 0.005/86400)-2 = 11.802378240000001
ghost solution	Welchen Zahlenwert  nimmt  in diesem System eine Geschwindigkeit von 42.1 km/s (das ist die sogenannte 3. kosmische Geschwindigkeit)  an?     4.84992

Algorithmus

1. Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt)
2. Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem.
3. Berechne den Abstand Sonne-Planet.
4. Berechne die Geschwindigkeiten vx  und vy  für den nächsten Zeitschritt.
5. Berechne mit dem Euler-Cromer-Algorithmus die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt.
6. Zeiche die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem
7. Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde.

(Aufgaben u. Lösungen befinden sich wie immer unter dem Menüpunkt Aufgaben & Tests)