Sierpinski-Dreieck - Dimension
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Dimension
Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit "Dimensionen" zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich:
\( V^D=A \)
- V: Veränderungsfaktor
- A: Anzahl selbstähnlicher Teilchen
- D: Dimension
oder aufgelöst nach der Dimension \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \).
Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.
Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.
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D=1 (Linie) |
Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel.
Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. Die Definition liefert dann:
\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \).
Hier wurde verdreifacht, d.h. es gilt V=3. Außerdem gilt A=3, denn als selbstähliches Gebilde haben wir hier zwei kurze Striche genommen.
\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \).
Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss.
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D=2 (Ebene) |
Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen. Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4.
\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \).
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D=3 (Raum) |
Im Raum sollte D=3 herauskommen. Rechnen Sie Beispiel A und B durch.
\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \).
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Sierpinski-Dreick |
Das Sierpinski-Dreieck hat eine fraktale Dimension von 1,5850 und ist damit ein Gebilde, dass mehr als eine Linie und weniger als eine Fläche ist.
\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 2} = 1,5850 \).
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Welche Dimension besitzt die folgende Kurve? |
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| Wenn Sie nicht weiter wissen: | Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche. |