In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Planeten unter den Einfluss eines Zentralgestirns (der Sonne) modellieren. Die Kräfte, die die beiden Körper aufeinander ausüben, werden durch Newtons Gravitationsgesetz beschrieben. Wir betrachten ein vereinfachtes Modell, bei dem z.B. die große Masse M der Sonne ruht, dennoch sind wir in der Lage anhand dieses Modells z.B. das zweite Keplersche Gesetz zu überprüfen.

Der Abschnitt Einführung in die Numerik sollte bereits behandelt worden sein, um diesen Abschnitt verstehen zu können. Des Weiteren sollte die Behandlung des Inhaltes Java Applet nicht zu lange zurückliegen.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Massenpunkten (hier $m_a$ und $m_b$). Der vektorielle Charakter der Kraft muss in der Modellierung berücksichtigt werden. Mit $\overrightarrow{F}_{ab}$ bezeichnen wir die Kraft, die von der Masse $m_a$ auf $m_b$ ausgeübt wird. Dann gilt nach Newton:

$$\begin{equation} \overrightarrow{F_{ab}} = G\; m_a\; m_b \frac{\overrightarrow{r_a} - \overrightarrow{r_b}}{ | \overrightarrow{r}_a - \overrightarrow{r_b} |^3} \end{equation}$$

Hier bezeichnet $G =6.67 \cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$ die Gravitationskonstante. Wir erwähnen noch, dass die Kraft proportional zum Quadrat des Abstandes (~ 1/r²) ist und dass sie entlang der Verbindungsgeraden der beiden Massen gerichtet ist (das ist eine Eigenschaft, die sogenannte Zentralkräfte aufweisen).

Die obige Gleichung (Gl. 1) lässt sich ein wenig vereinfachen, wenn man davon ausgeht, dass sich die Masse $m_a$ im Nullpunkt des Koordinatensystems befindet (dann ist nämlich $r_a = 0$ ). Außerdem lassen wir die Indizes weg:

$$\begin{equation} \overrightarrow{F} = -G\; \frac{m_a\; m_b}{r^2} \cdot \frac{\overrightarrow{r}}{r}\end{equation}$$

Dabei ist $\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ der Einheitsvektor in Richtung von $\overrightarrow{r}$. In dieser Form begegnet man dem Gravitationsgesetz häufig.

Vollständigkeitshalber notieren wir noch kurz das 2. Newtonsche Axiom. Es besagt, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist. $$\overrightarrow{F}= m \cdot \overrightarrow{a}$$