Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck, 1915 von Waclaw Sierpinski beschrieben, ist ein sogenanntes Fraktal. Fraktale haben gebrochene Dimensionen, und für das Sierpinski-Dreieck gilt, dass es mehr als eine Linie, aber weniger als eine Fläche ist. Wie wir sehen werden, kommen noch andere Merkwürdigkeiten hinzu. Wollten Sie es zum Beispiel anmalen, benötigen Sie keine Farbe, da der Flächenanteil des Dreiecks gegen null strebt.

Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde.

Konstruktionsprinzip

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Eine Variante, das sogenannte Chaos-Spiel, befindet sich im Java-Abschnitt (eine weitere interessante Konstruktionsmöglichkeit ergibt sich, wenn man Zellularautomaten zu Hilfe nimmt).

Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, wenn man die Verfahren unendlich oft wiederholt (iteriert).

Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün) wird das Sierpinski-Dreieck immer besser erkennbar. Hier wurden fünf Iterationen dargestellt.

Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können.

Flächeninhalt - Umfang - Dimension

Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt:

Flächeninhalt
- Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es auszumalen wird keine Farbe benötigt.

Umfang
- Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreieck wandern.

Dimension
- Die Dimension ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2).

Flächeninhalt

a ist die Kantenlänge des Dreiecks
n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)

\( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)		\( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\)
Ergebnis:	Der Flächeninhalt geht für großes n gegen 0.
	\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\)

Umfang

a ist die Kantenlänge des Dreiecks
n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)

\( U = 3 a \)		\( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\)
Ergebnis:	Der Umfang geht für großes n gegen unendlich.
	\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\)

Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinski-Dreiecks gibt es hier

Dimension

Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit „Dimensionen“ zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich:

Definition:
(Hausdorf-Dimension) \begin{equation} V^D=A \end{equation}

V: Veränderungsfaktor
A: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen
D: Dimension

oder aufgelöst nach der Dimension \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \).

Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.

Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.

D=1 (Linie)

Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel.

Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2.
Die Definition liefert dann:

\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \).

Hier wurde verdreifacht, d.h. es gilt V=3. Außerdem gilt A=3, denn als selbstähliches Gebilde haben wir hier zwei kurze Striche genommen.

\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \).

Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss.

D=2 (Fläche)

Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen.
Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4.

\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \).